Proposição 1.4.4: Para quaisquer vetores vec{u}, vec{v} e vec{w} e para qualquer escalar lambda \in \mathbb{R}, tem-se: vec{u} \cdot vec{u}=\|vec{u}\|^{2}, ou seja, \|vec{u}\|=\sqrt{vec{u} \cdot vec{u}}
Passo 1
O enunciado afirma que, em \mathbb{R}^n, para qualquer vetor \vec{u}, vale
\vec{u}\cdot\vec{u} = \|\vec{u}\|^2
e, consequentemente,
\|\vec{u}\| = \sqrt{\vec{u}\cdot\vec{u}}.
Para mostrar isso, vamos usar as definições de produto escalar e de norma em coordenadas.
Passo 2
Pela definição de produto escalar em \mathbb{R}^n, se \vec{u}=(u_1,u_2,\dots,u_n) então