Proposição 1.4.4: Para quaisquer vetores vec{u}, vec{v} e vec{w} e para qualquer escalar lambda \in \mathbb{R}, tem-se:
vec{u} \cdot vec{u}=\|vec{u}\|^{2}, ou seja, \|vec{u}\|=\sqrt{vec{u} \cdot vec{u}}

Passo 1

O enunciado afirma que, em \mathbb{R}^n, para qualquer vetor \vec{u}, vale
\vec{u}\cdot\vec{u} = \|\vec{u}\|^2
e, consequentemente,
\|\vec{u}\| = \sqrt{\vec{u}\cdot\vec{u}}.
Para mostrar isso, vamos usar as definições de produto escalar e de norma em coordenadas.

Passo 2

Pela definição de produto escalar em \mathbb{R}^n, se \vec{u}=(u_1,u_2,\dots,u_n) então
\vec{u}\cdot\vec{u} = \sum_{i=1}^{n}u_i\,u_i = \sum_{i=1}^{n}u_i^2.

Passo 3

Pela definição de norma de um vetor em \mathbb{R}^n, temos
\|\vec{u}\| = \sqrt{\sum_{i=1}^{n}u_i^2},
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\|\vec{u}\|^2 = \sum_{i=1}^{n}u_i^2.

Passo 4

Comparando os resultados dos passos anteriores, vemos que
\vec{u}\cdot\vec{u} = \sum_{i=1}^{n}u_i^2 = \|\vec{u}\|^2.
Tirando raiz de ambos os lados (e lembrando que \|\vec{u}\|\ge0), conclui-se
\|\vec{u}\| = \sqrt{\vec{u}\cdot\vec{u}}.

Resposta

\vec{u}\cdot\vec{u} = \|\vec{u}\|^2 e, portanto, \|\vec{u}\| = \sqrt{\vec{u}\cdot\vec{u}}.

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