Exercício 2. Uma ação comprada por \mathrm{R} \ 1,00 pode assumir, após 30 dias os seguintes valores:ó\mathrm{R} $5,00 , com 0,20 de probabilidade;\mathrm{R} $ 10,00 com 0,30 de probabilidade;\mathrm{R} $16,00 , com25 % de probabilidade; ou\mathrm{R} $ 20,00 com25 %$ de probabilidade. Determine o valor esperado da ação e sua variância.

Passo 1

O enunciado define uma variável aleatória X que representa o preço da ação após 30 dias, com distribuição discreta: \Pr(X=5)=0,20, \Pr(X=10)=0,30, \Pr(X=16)=0,25 e \Pr(X=20)=0,25.
O objetivo é calcular o valor esperado \mathbb{E}(X) e a variância \mathrm{Var}(X).

Passo 2

Para encontrar o valor esperado usamos a definição de esperança de variável discreta:
\mathbb{E}(X)=\sum_{i}x_i\,p_i.
Aplicando aos dados:
\mathbb{E}(X) =5\cdot0{,}20 + 10\cdot0{,}30 + 16\cdot0{,}25 + 20\cdot0{,}25 =1 + 3 + 4 + 5 =13.

Passo 3

Para calcular a variância usamos
\mathrm{Var}(X)=\mathbb{E}(X^2)-\bigl[\mathbb{E}(X)\bigr]^2.
Primeiro computamos \mathbb{E}(X^2):
\mathbb{E}(X^2) =5^2\cdot0{,}20 + 10^2\cdot0{,}30 + 16^2\cdot0{,}25 + 20^2\cdot0{,}25 =25\cdot0{,}20 + 100\cdot0{,}30 + 256\cdot0{,}25 + 400\cdot0{,}25 =5 + 30 + 64 + 100 =199.
Em seguida,
\mathrm{Var}(X) =199 - 13^2 =199 - 169 =30.

Resposta

\mathbb{E}(X)=13 \mathrm{Var}(X)=30

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