Exercício 3. Calcule a esperança, a variância e o desvio-padrão das seguintes variáveis aleatória discretas:
valor de uma ação:
i) \ 50$ com probabilidade de 0.35 ;
ii) \ 40$ com probabilidade de 0.30 ;
iii) \ 30$ com probabilidade de 0.20 ;
iv) \ 20$ com probabilidade de 0.15 ;

Passo 1

O enunciado nos dá uma variável aleatória discreta X que representa o valor de uma ação, com distribuição
P(X=50)=0{,}35,\quad P(X=40)=0{,}30,\quad P(X=30)=0{,}20,\quad P(X=20)=0{,}15.
Precisamos calcular a esperança (média) \mathbb E[X], a variância \mathrm{Var}(X) e o desvio-padrão \sigma_X. Vamos usar as fórmulas
\mathbb E[X]=\sum_i x_i\,p_i,
\mathrm{Var}(X)=\mathbb E\bigl[X^2\bigr]-(\mathbb E[X])^2,
\sigma_X=\sqrt{\mathrm{Var}(X)}.

Passo 2

Calcular a esperança usando
\mathbb E[X]=50\cdot0{,}35+40\cdot0{,}30+30\cdot0{,}20+20\cdot0{,}15.
Fazendo as contas:
50\cdot0{,}35=17{,}5,\quad 40\cdot0{,}30=12,\quad 30\cdot0{,}20=6,\quad 20\cdot0{,}15=3,
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\mathbb E[X]=17{,}5+12+6+3=38{,}5.

Passo 3

Calcular \mathbb E[X^2] e a variância. Primeiro
\mathbb E[X^2]=50^2\cdot0{,}35+40^2\cdot0{,}30+30^2\cdot0{,}20+20^2\cdot0{,}15.
Isso dá
2500\cdot0{,}35=875,\quad 1600\cdot0{,}30=480,\quad 900\cdot0{,}20=180,\quad 400\cdot0{,}15=60,
\mathbb E[X^2]=875+480+180+60=1595.
A variância é
\mathrm{Var}(X)=1595-(38{,}5)^2=1595-1482{,}25=112{,}75.

Passo 4

Calcular o desvio-padrão:
\sigma_X=\sqrt{112{,}75}\approx10{,}62.

Resposta

\mathbb E[X]=38{,}5 \mathrm{Var}(X)=112{,}75 \sigma_X\approx10{,}62

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