Exercício 3. Calcule a esperança, a variância e o desvio-padrão das seguintes variáveis aleatória discretas:
pontos de um time ao final do campeonato:
i) 40 com probabilidade de 0.05 ;
ii) 36 com probabilidade de 0.10 ;
iii) 32 com probabilidade de 0.25 ;
iv) 28 com probabilidade de 0.25 ;
v) 24 com probabilidade de 0.20 ;
vi) 20 com probabilidade de 0.15 .

Passo 1

O enunciado apresenta uma variável aleatória discreta X que assume os valores
40,\,36,\,32,\,28,\,24,\,20
com probabilidades
0{,}05,\;0{,}10,\;0{,}25,\;0{,}25,\;0{,}20,\;0{,}15,
respectivamente.
Conteúdo envolvido: cálculo de esperança \mathbb{E}(X), variância \mathrm{Var}(X) e desvio-padrão \sigma_X.
Fórmulas principais:
\mathbb{E}(X)=\sum_i x_i p_i,
\mathrm{Var}(X)=\mathbb{E}(X^2)-\bigl[\mathbb{E}(X)\bigr]^2,
\sigma_X=\sqrt{\mathrm{Var}(X)}.

Passo 2

Calcular a esperança \mathbb{E}(X) somando cada valor vezes sua probabilidade:
\mathbb{E}(X) =40\cdot0{,}05+36\cdot0{,}10+32\cdot0{,}25+28\cdot0{,}25+24\cdot0{,}20+20\cdot0{,}15.
Fazendo as contas:
2+3{,}6+8+7+4{,}8+3=28{,}4.

Passo 3

Para obter \mathrm{Var}(X), primeiro calculamos \mathbb{E}(X^2):
\mathbb{E}(X^2) =40^2\cdot0{,}05+36^2\cdot0{,}10+32^2\cdot0{,}25+28^2\cdot0{,}25+24^2\cdot0{,}20+20^2\cdot0{,}15.
Numericamente:
80+129{,}6+256+196+115{,}2+60=836{,}8.

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula da variância:
\mathrm{Var}(X) =\mathbb{E}(X^2)-\bigl[\mathbb{E}(X)\bigr]^2 =836{,}8-(28{,}4)^2 =836{,}8-806{,}56 =30{,}24.

Passo 5

O desvio-padrão \sigma_X é a raiz quadrada da variância:
\sigma_X =\sqrt{30{,}24} \approx5{,}50.

Resposta

\mathbb{E}(X)=28{,}4 \mathrm{Var}(X)=30{,}24 \sigma_X\approx5{,}50

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