Exercício 1. Suponha que
representa uma v.a. cujos valores seguem uma progressão aritmética que se inicia em 1000 e termina em 10000, com passo igual a 5 , todos igualmente prováveis.
(a) Qual a esperança e variância de
?
(b) Se dois valores de
fossem escolhidos ao acaso (independentemente) e fosse obtida a diferença entre eles, qual seria o mínimo, o máximo, a média e a variância dessa diferença?
(a) Qual a esperança e variância de
(b) Se dois valores de
Passo 1
O enunciado diz que
é uma variável aleatória discreta que toma todos os valores de uma progressão aritmética de primeiro termo
, último termo
e razão
, todos com mesma probabilidade. O conteúdo aqui é a distribuição uniforme discreta em PA e vamos usar fórmulas para esperança e variância desse tipo de variável.
Passo 2
Primeiro contamos quantos valores
pode assumir. Se a diferença entre o maior e o menor é dividida em passos de tamanho
, então o número de valores é
Passo 3
A esperança de uma uniforme discreta em PA é simplesmente a média aritmética dos extremos, ou seja
Passo 4
A variância de uma uniforme discreta em PA com
termos e razão
é
Substituindo
e
,
Passo 5
Agora, para a parte (b), definimos
e
independentes com a mesma lei de
e consideramos
O menor valor de
ocorre quando
e
, isto é
e o maior quando
e
, ou seja
Passo 6
A média de
é
Passo 7
Como
e
são independentes,
Resposta
(a)
e
(b) ,
,
e
(b)