Exercício 1. Suponha que X representa uma v.a. cujos valores seguem uma progressão aritmética que se inicia em 1000 e termina em 10000, com passo igual a 5 , todos igualmente prováveis.
(a) Qual a esperança e variância de X ?
(b) Se dois valores de X fossem escolhidos ao acaso (independentemente) e fosse obtida a diferença entre eles, qual seria o mínimo, o máximo, a média e a variância dessa diferença?

Passo 1

O enunciado diz que X é uma variável aleatória discreta que toma todos os valores de uma progressão aritmética de primeiro termo a=1000, último termo b=10000 e razão d=5, todos com mesma probabilidade. O conteúdo aqui é a distribuição uniforme discreta em PA e vamos usar fórmulas para esperança e variância desse tipo de variável.

Passo 2

Primeiro contamos quantos valores X pode assumir. Se a diferença entre o maior e o menor é dividida em passos de tamanho d, então o número de valores é
N = \frac{b - a}{d} + 1 = \frac{10000 - 1000}{5} + 1 = 1801.

Passo 3

A esperança de uma uniforme discreta em PA é simplesmente a média aritmética dos extremos, ou seja
\mathbb{E}[X] = \frac{a + b}{2} = \frac{1000 + 10000}{2} = 5500.

Passo 4

A variância de uma uniforme discreta em PA com N termos e razão d é
\mathrm{Var}(X) = \frac{(N^2 - 1)\,d^2}{12}.
Substituindo N=1801 e d=5,
\mathrm{Var}(X) = \frac{(1801^2 - 1)\cdot 5^2}{12} = \frac{(3\,243\,601 - 1)\cdot 25}{12} = \frac{3\,243\,600 \cdot 25}{12} = 6\,757\,500.

Passo 5

Agora, para a parte (b), definimos X_1 e X_2 independentes com a mesma lei de X e consideramos
Y = X_1 - X_2.
O menor valor de Y ocorre quando X_1=a e X_2=b, isto é
\min(Y) = a - b = 1000 - 10000 = -9000,
e o maior quando X_1=b e X_2=a, ou seja
\max(Y) = b - a = 10000 - 1000 = 9000.

Passo 6

A média de Y é
\mathbb{E}[Y] = \mathbb{E}[X_1] - \mathbb{E}[X_2] = 5500 - 5500 = 0.

Passo 7

Como X_1 e X_2 são independentes,
\mathrm{Var}(Y) = \mathrm{Var}(X_1) + \mathrm{Var}(X_2) = 2\,\mathrm{Var}(X) = 2 \times 6\,757\,500 = 13\,515\,000.

Resposta

(a) \mathbb{E}[X] = 5500 e \mathrm{Var}(X) = 6\,757\,500
(b) \min(Y) = -9000, \max(Y) = 9000, \mathbb{E}[Y] = 0 e \mathrm{Var}(Y) = 13\,515\,000

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