Exercício 4.9 Achar a equação de uma parábola com vértice na reta 2 y-3 x=0, eixo paralelo a Ox e que passa pelos dois pontos (3,5) e (6,-1).
Resposta: (y-3)^2=4(x-2) ou (y-4911)^2=10811(x-9833).

Passo 1

Resumo do enunciado: precisamos achar a equação de uma parábola com eixo paralelo a Ox, vértice na reta 2y-3x=0 e que passe pelos pontos (3,5) e (6,-1). O conteúdo é parábola de eixo horizontal, cuja forma padrão é (y-k)^2=4p(x-h).

Passo 2

Como o vértice (h,k) está em 2y-3x=0, temos 2k-3h=0, logo k=tfrac3h2. Assim a equação vira (y-tfrac3h2)^2=4p(x-h).

Passo 3

Substituímos (3,5) na equação: (5-tfrac3h2)^2=4p(3-h). E também (6,-1): (-1-tfrac3h2)^2=4p(6-h). Cada uma dá uma equação em h,p.

Passo 4

Para eliminar p, dividimos pela parte (3-h) na primeira e (6-h) na segunda, igualando as expressões de 4p. Fazendo as contas chega-se a 33h^2-164h+196=0

Passo 5

Resolvendo a quadrática: h=2 ou h=tfrac9833. Então k=tfrac3h2=3 ou k=tfrac4911.

Passo 6

Finalmente encontramos p usando uma das substituições. Para h=2 vem p=1, e para h=tfrac9833 vem p=tfrac2711. Assim as duas parábolas são

Resposta

(y-3)^2=4(x-2) ou (y-4911)^2=10811(x-9833)

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