Exercício 7. Ache as assíntotas verticais e horizontais das funções dadas abaixo, caso existam.
Passo 1
O enunciado pede: "Ache as assíntotas verticais e horizontais da função
". Informações dadas:
- A função é
. - Não há figura fornecida.
- Perguntas específicas: encontrar as assíntotas verticais (se existirem) e as assíntotas horizontais (se existirem).
- Observação óbvia que já posso extrair: o denominador é zero quando
, então está fora do domínio.
Passo 2
O que é uma assíntota vertical (em termos que dá pra aplicar na prova)?
- Dizemos que a reta vertical
é uma assíntota vertical de se, ao nos aproximarmos de por pelo menos um dos lados, o valor de tende a ou . Em fórmulas: se
então
é assíntota vertical.
- Regra prática para funções racionais
: pontos onde são candidatos; mas é preciso checar o limite porque às vezes o zero do denominador pode ser “removível” (quando e têm fator comum) e então não há assíntota vertical.
Passo 3
Aplicando isso à nossa função: primeiro escrevemos o domínio e simplificamos quando possível.
- A função originalmente é
- O domínio é
porque anula o denominador. - Não há fator comum que cancele entre numerador e denominador (o numerador
não tem raiz em ), então é um candidato real a assíntota vertical (não é um buraco removível).
Passo 4
Calcular os limites laterais em
para ver se a função diverge para
.
- Uma reescrita útil é observar que
- Agora, para
próximo de (tanto vindo da direita quanto da esquerda), tem-se e, quanto mais próximo de zero, maior fica . Logo
- Conclusão desta etapa: a função diverge para
ao aproximar-se de por ambos os lados, portanto é de fato uma assíntota vertical.
Passo 5
Breve justificativa técnica (como justificar numa prova que
quando
):
- Para
vale . Tomando essa expressão cresce sem limite, o que mostra que . Isso vale igualmente para aproximação pela direita e pela esquerda porque é sempre positivo.
Passo 6
O que é uma assíntota horizontal (e método prático)?
- A reta horizontal
é assíntota horizontal de quando
- Para funções racionais
, regra rápida: - se
então é assíntota horizontal; - se
então razão dos coeficientes líderes; - se
então não há assíntota horizontal (pode haver oblíqua se ).
- se
- Outra forma prática é dividir numerador e denominador pela maior potência de
e ver o limite.
Passo 7
Aplicando ao caso concreto para
.
- Usando a reescrita já feita,
- Quando
temos , então
- Quando
também , então
- Assim, a reta
é assíntota horizontal tanto à direita quanto à esquerda.
Passo 8
Checagem final e observações rápidas para a prova:
- Não há outros pontos onde o denominador se anula, logo nenhuma outra assíntota vertical além de
. - Como o grau do numerador é igual ao grau do denominador (
e ), já se esperava uma assíntota horizontal igual à razão dos coeficientes líderes; aqui os coeficientes líderes são ambos , dando . - Não há assíntota oblíqua porque os graus não satisfazem
.
Resposta
Assíntota vertical:
Assíntota horizontal:
Assíntota horizontal: