Exercício 7. Ache as assíntotas verticais e horizontais das funções dadas abaixo, caso existam.
f(x)=\frac{x^{2}+1}{x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede: "Ache as assíntotas verticais e horizontais da função f(x)=\dfrac{x^{2}+1}{x^{2}}". Informações dadas:
  • A função é f(x)=\dfrac{x^{2}+1}{x^{2}}.
  • Não há figura fornecida.
  • Perguntas específicas: encontrar as assíntotas verticais (se existirem) e as assíntotas horizontais (se existirem).
  • Observação óbvia que já posso extrair: o denominador é zero quando x=0, então x=0 está fora do domínio.

Passo 2

O que é uma assíntota vertical (em termos que dá pra aplicar na prova)?
  • Dizemos que a reta vertical x=a é uma assíntota vertical de f se, ao nos aproximarmos de a por pelo menos um dos lados, o valor de f(x) tende a +\infty ou -\infty. Em fórmulas: se
\lim_{x\to a^-} f(x)=\pm\infty \quad\text{ou}\quad \lim_{x\to a^+} f(x)=\pm\infty,
então x=a é assíntota vertical.
  • Regra prática para funções racionais \dfrac{P(x)}{Q(x)}: pontos onde Q(x)=0 são candidatos; mas é preciso checar o limite porque às vezes o zero do denominador pode ser “removível” (quando P e Q têm fator comum) e então não há assíntota vertical.

Passo 3

Aplicando isso à nossa função: primeiro escrevemos o domínio e simplificamos quando possível.
  • A função originalmente é
f(x)=\dfrac{x^{2}+1}{x^{2}}.
  • O domínio é \mathbb{R}\setminus\{0\} porque x=0 anula o denominador.
  • Não há fator comum que cancele entre numerador e denominador (o numerador x^{2}+1 não tem raiz em x=0), então x=0 é um candidato real a assíntota vertical (não é um buraco removível).

Passo 4

Calcular os limites laterais em x=0 para ver se a função diverge para \pm\infty.
  • Uma reescrita útil é observar que
f(x)=\dfrac{x^{2}+1}{x^{2}}=1+\dfrac{1}{x^{2}}.
  • Agora, para x próximo de 0 (tanto vindo da direita quanto da esquerda), tem-se \dfrac{1}{x^{2}}>0 e, quanto mais próximo de zero, maior fica \dfrac{1}{x^{2}}. Logo
\lim_{x\to 0^-} f(x)=\lim_{x\to 0^+} f(x)=+\infty.
  • Conclusão desta etapa: a função diverge para +\infty ao aproximar-se de 0 por ambos os lados, portanto x=0 é de fato uma assíntota vertical.

Passo 5

Breve justificativa técnica (como justificar numa prova que \dfrac{1}{x^{2}}\to+\infty quando x\to 0):
  • Para 0<|x|<\delta vale \dfrac{1}{x^{2}}>\dfrac{1}{\delta^{2}}. Tomando \delta\to 0 essa expressão cresce sem limite, o que mostra que \dfrac{1}{x^{2}}\to+\infty. Isso vale igualmente para aproximação pela direita e pela esquerda porque x^{2} é sempre positivo.

Passo 6

O que é uma assíntota horizontal (e método prático)?
  • A reta horizontal y=L é assíntota horizontal de f quando
\lim_{x\to+\infty} f(x)=L \quad\text{ou}\quad \lim_{x\to-\infty} f(x)=L.
  • Para funções racionais \dfrac{P(x)}{Q(x)}, regra rápida:
    • se \deg P<\deg Q então y=0 é assíntota horizontal;
    • se \deg P=\deg Q então y= razão dos coeficientes líderes;
    • se \deg P>\deg Q então não há assíntota horizontal (pode haver oblíqua se \deg P=\deg Q+1).
  • Outra forma prática é dividir numerador e denominador pela maior potência de x e ver o limite.

Passo 7

Aplicando ao caso concreto para x\to\pm\infty.
  • Usando a reescrita já feita,
f(x)=1+\dfrac{1}{x^{2}}.
  • Quando x\to+\infty temos \dfrac{1}{x^{2}}\to 0, então
\lim_{x\to+\infty} f(x)=1.
  • Quando x\to-\infty também \dfrac{1}{x^{2}}\to 0, então
\lim_{x\to-\infty} f(x)=1.
  • Assim, a reta y=1 é assíntota horizontal tanto à direita quanto à esquerda.

Passo 8

Checagem final e observações rápidas para a prova:
  • Não há outros pontos onde o denominador se anula, logo nenhuma outra assíntota vertical além de x=0.
  • Como o grau do numerador é igual ao grau do denominador ( 2 e 2), já se esperava uma assíntota horizontal igual à razão dos coeficientes líderes; aqui os coeficientes líderes são ambos 1, dando y=1.
  • Não há assíntota oblíqua porque os graus não satisfazem \deg P=\deg Q+1.

Resposta

Assíntota vertical: x=0
Assíntota horizontal: y=1

Exercícios relacionados