Exercício 8. Considere os seguintes subespaços vetorias do espaço vetorial real ( \mathbb{R}^{3},+, \cdot ):
\begin{aligned} S \doteq[(1,-1,2),(2,1,1)], & T \doteq[(0,1,-1),(1,2,1)] \\\ U \doteq\{(x, y, z) ; x+y=4 x-z=0\} & \text { e } V \doteq\{(x, y, z) ; 3 x-y-z=0\} \end{aligned}
Determine bases e as dimensões dos seguintes subespaços vetoriais do espaço vetorial real ( \mathbb{R}^{3},+, \cdot ):
(d) V

Passo 1

O enunciado pede base e dimensão do subespaço
V = \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid 3x - y - z = 0\}.
O conteúdo envolve resolver a equação linear que define um hiperplano em \mathbb{R}^3, escrever sua forma paramétrica e extrair um conjunto gerador minimal (base).

Passo 2

Da equação 3x - y - z = 0 isolamos y:
y = 3x - z.
Tomamos x e z como variáveis livres, digamos x = s e z = t. Assim
(x,y,z) = (s,\;3s - t,\;t) = s\,(1,3,0) \;+\; t\,(0,-1,1).
Logo V = \mathrm{span}\{(1,3,0),\,(0,-1,1)\}.

Passo 3

Os vetores (1,3,0) e (0,-1,1) são linearmente independentes (não há combinação escalar não trivial que anule ambos), portanto formam uma base de V. Como há dois vetores na base,
\dim(V) = 2.

Resposta

Uma base de V é \{(1,3,0),\,(0,-1,1)\} e \dim(V)=2.

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