Exercício 8. Considere os seguintes subespaços vetorias do espaço vetorial real ( \mathbb{R}^{3},+, \cdot ):
\begin{aligned} S \doteq[(1,-1,2),(2,1,1)], & T \doteq[(0,1,-1),(1,2,1)] \\\ U \doteq\{(x, y, z) ; x+y=4 x-z=0\} & \text { e } V \doteq\{(x, y, z) ; 3 x-y-z=0\} \end{aligned}
Determine bases e as dimensões dos seguintes subespaços vetoriais do espaço vetorial real ( \mathbb{R}^{3},+, \cdot ):
(e) S+T
Passo 1
O enunciado pede a base e a dimensão do subespaço S+T, sendo
S = \Span\{(1,-1,2),\,(2,1,1)\}, \quad T = \Span\{(0,1,-1),\,(1,2,1)\}.
O conteúdo aqui é a soma de subespaços em \mathbb{R}^3:
Agora basta extrair uma base desse conjunto, eliminando vetores linearmente dependentes.
Passo 3
Para verificar independência, montamos a matriz cujas colunas são esses vetores e buscamos três colunas independentes. Por exemplo, considere as três primeiras colunas: