Exercício 8. Considere os seguintes subespaços vetorias do espaço vetorial real ( \mathbb{R}^{3},+, \cdot ):
\begin{aligned} S \doteq[(1,-1,2),(2,1,1)], & T \doteq[(0,1,-1),(1,2,1)] \\\ U \doteq\{(x, y, z) ; x+y=4 x-z=0\} & \text { e } V \doteq\{(x, y, z) ; 3 x-y-z=0\} \end{aligned}
Determine bases e as dimensões dos seguintes subespaços vetoriais do espaço vetorial real ( \mathbb{R}^{3},+, \cdot ):
(e) S+T

Passo 1

O enunciado pede a base e a dimensão do subespaço S+T, sendo
S = \Span\{(1,-1,2),\,(2,1,1)\}, \quad T = \Span\{(0,1,-1),\,(1,2,1)\}.
O conteúdo aqui é a soma de subespaços em \mathbb{R}^3:
S+T = \{\,\mathbf{s}+\mathbf{t} \mid \mathbf{s}\in S,\;\mathbf{t}\in T\},
e sabemos que S+T = \Span\bigl(\text{geradores de }S\cup T\bigr).

Passo 2

Um gerador de S+T pode ser obtido simplesmente juntando os vetores de S e de T, ou seja,
S+T = \Span\bigl\{(1,-1,2),\,(2,1,1),\,(0,1,-1),\,(1,2,1)\bigr\}.
Agora basta extrair uma base desse conjunto, eliminando vetores linearmente dependentes.

Passo 3

Para verificar independência, montamos a matriz cujas colunas são esses vetores e buscamos três colunas independentes. Por exemplo, considere as três primeiras colunas:
M = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0\\\\ -1 & 1 & 1\\\\ 2 & 1 & -1 \end{pmatrix}.
O determinante dessa matriz é
\det(M) = 1\cdot\det\begin{pmatrix}1 & 1\\\ 1 & -1\end{pmatrix} -2\cdot\det\begin{pmatrix}-1 & 1\\\ 2 & -1\end{pmatrix} +0 = (1\cdot(-1)-1\cdot1)-2\bigl((-1)\cdot(-1)-2\cdot1\bigr)
= (-2)-2(1-2)= -2-2(-1)=0.
Esses três são dependentes, então vamos testar outro triplete, por exemplo as colunas 1, 2 e 4.

Passo 4

Formando a matriz com as colunas 1, 2 e 4, temos
N = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1\\\\ -1 & 1 & 2\\\\ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix}.
Calculamos
\det(N) =1\cdot\det\begin{pmatrix}1 & 2\\\ 1 & 1\end{pmatrix} -2\cdot\det\begin{pmatrix}-1 & 2\\\ 2 & 1\end{pmatrix} +1\cdot\det\begin{pmatrix}-1 & 1\\\ 2 & 1\end{pmatrix}
=1(1\cdot1-2\cdot1)-2\bigl((-1)\cdot1-2\cdot2\bigr)+1\bigl((-1)\cdot1-1\cdot2\bigr)
=(1-2)-2(-1-4)+(-3) =-1-2(-5)-3=-1+10-3=6\neq0.
Logo esses três vetores são linearmente independentes.

Passo 5

Como encontramos três vetores independentes em \mathbb{R}^3, a dimensão de S+T é 3 e, portanto, S+T=\mathbb{R}^3. Uma base conveniente é
\bigl\{(1,-1,2),\,(2,1,1),\,(1,2,1)\bigr\}.

Resposta

Base de S+T: \{(1,-1,2),\,(2,1,1),\,(1,2,1)\}
Dimensão de S+T: 3

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