Exercício 6. Afirmar que \int_{-1}^{1} \frac{3}{4 x^{2}} d x=-\frac{3}{2} é uma verdade? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado pergunta se é verdade que
\int_{-1}^{1}\frac{3}{4x^{2}}\,dx=-\frac{3}{2}
Para resolver isso precisamos analisar integrais impróprias, pois o integrando \tfrac{3}{4x^{2}} não está definido em x=0.

Passo 2

Como há singularidade em x=0, devemos escrever
\int_{-1}^{1}\frac{3}{4x^{2}}\,dx =\int_{-1}^{0}\frac{3}{4x^{2}}\,dx +\int_{0}^{1}\frac{3}{4x^{2}}\,dx
e interpretar cada parte como limite de uma integral própria quando o ponto de ruptura se aproxima de zero.

Passo 3

Vamos examinar a porção de 0 a 1. Para \varepsilon>0,
\int_{\varepsilon}^{1}\frac{3}{4x^{2}}\,dx =\frac{3}{4}\int_{\varepsilon}^{1}x^{-2}\,dx =\frac{3}{4}\Bigl[-x^{-1}\Bigr]_{\varepsilon}^{1} =\frac{3}{4}\bigl(-1+\tfrac{1}{\varepsilon}\bigr)
e, ao fazer \varepsilon\to0^{+}$, o termo \(\tfrac{1}{\varepsilon} vai a +\infty. Logo
\int_{0}^{1}\frac{3}{4x^{2}}\,dx=+\infty.
De modo análogo, a parte de -1 até 0 também diverge a +\infty.)

Passo 4

Como pelo menos uma das integrais impróprias não converge (de fato tende a +\infty), toda a integral \displaystyle\int_{-1}^{1}\tfrac{3}{4x^{2}}\,dx é divergente. A aplicação formal da antiderivada -\tfrac{3}{4x} e a avaliação entre -1 e 1 não é válida sem a garantia de convergência.

Resposta

Não. A integral diverge, portanto não faz sentido igualá-la a -\tfrac{3}{2}.

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