Exercício 6. Afirmar que
é uma verdade? Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado pergunta se é verdade que
Para resolver isso precisamos analisar integrais impróprias, pois o integrando
não está definido em
.
Passo 2
Como há singularidade em
, devemos escrever
e interpretar cada parte como limite de uma integral própria quando o ponto de ruptura se aproxima de zero.
Passo 3
Vamos examinar a porção de
a
. Para
,
e, ao fazer
vai a
. Logo
De modo análogo, a parte de
até
também diverge a
.)
Passo 4
Como pelo menos uma das integrais impróprias não converge (de fato tende a
), toda a integral
é divergente. A aplicação formal da antiderivada
e a avaliação entre
e
não é válida sem a garantia de convergência.
Resposta
Não. A integral diverge, portanto não faz sentido igualá-la a
.