Exercício 4. Um engenheiro ambiental coletou 20 amostras de água de um rio para medir a concentração de um determinado poluente, em miligramas por litro (
). Os valores obtidos foram os seguintes:
Calcule a média, a mediana e a moda da concentração do poluente.
Passo 1
O enunciado pede que calculemos três medidas descritivas da amostra de concentrações: a média, a mediana e a moda.
Os dados fornecidos (em ) são:
Os dados fornecidos (em
Aqui estão as perguntas que vamos responder:
- Qual é a média da amostra?
- Qual é a mediana da amostra?
- Qual é a moda (valor mais frequente) da amostra?
Passo 2
Vamos calcular a média passo a passo. Primeiro, a definição da média amostral:
Onde:
-
é a média amostral; -
é o número de observações (tamanho da amostra); -
são os valores observados, para .
No nosso caso,
(há 20 valores). Em vez de somar todos um a um, é prático usar a contagem de cada valor. Contagens (frequências) dos valores observados:
Agora calculamos a soma total
multiplicando cada valor pela sua frequência:
Calculemos cada termo:
Somando:
Agora aplicamos a fórmula da média:
Fazendo a divisão:
(uso da vírgula como separador decimal conforme pedido).
Passo 3
Agora a mediana. Primeiro a definição e regra prática:
- Ordenamos os dados em ordem crescente.
- Se
for ímpar, a mediana é o valor na posição . - Se
for par, a mediana é a média aritmética dos valores nas posições e .
Aqui
(par), então a mediana será a média dos valores nas posições
e
, depois de ordenar.
Ordenando os dados (usei as contagens feitas antes) obtemos:
Contando posições: os quatro primeiros são
(posições 1–4), as cinco ocorrências de
ocupam as posições 5–9, e os seis
ocupam as posições 10–15. Assim:
- valor na posição
é , - valor na posição
é .
Logo a mediana é a média de
e
:
Passo 4
Agora a moda. Definição: a moda é o(s) valor(es) que aparecem com maior frequência na amostra. Usamos a tabela de frequências já calculada:
A maior frequência é
, correspondente ao valor
. Portanto a amostra é unimodal e a moda é
.
Passo 5
Resumo rápido do que fizemos (para fixar): calculamos a soma usando frequências para obter
, dividimos por
para achar a média
; ordenamos os dados e usamos as posições
e
para obter a mediana
; e identificamos a maior frequência para achar a moda
. Você conseguiu — passo a passo! Força na prova!
Resposta
Média:
Mediana:
Moda:
Mediana:
Moda: