Exercício 4. Um engenheiro ambiental coletou 20 amostras de água de um rio para medir a concentração de um determinado poluente, em miligramas por litro ( \mathrm{mg} / \mathrm{L} ). Os valores obtidos foram os seguintes:
5,6,7,5,8,6,7,9,7,5,6,8,7,5,6,7,8,9,6,7
Calcule a média, a mediana e a moda da concentração do poluente.

Passo 1

O enunciado pede que calculemos três medidas descritivas da amostra de concentrações: a média, a mediana e a moda.
Os dados fornecidos (em \mathrm{mg}/\mathrm{L}) são:
5,6,7,5,8,6,7,9,7,5,6,8,7,5,6,7,8,9,6,7
Aqui estão as perguntas que vamos responder:
  1. Qual é a média da amostra?
  2. Qual é a mediana da amostra?
  3. Qual é a moda (valor mais frequente) da amostra?

Passo 2

Vamos calcular a média passo a passo. Primeiro, a definição da média amostral:
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i
Onde:
  • \bar{x} é a média amostral;
  • n é o número de observações (tamanho da amostra);
  • x_i são os valores observados, para i=1,\dots,n.
No nosso caso, n=20 (há 20 valores). Em vez de somar todos um a um, é prático usar a contagem de cada valor. Contagens (frequências) dos valores observados:
5:\,4,\quad 6:\,5,\quad 7:\,6,\quad 8:\,3,\quad 9:\,2
Agora calculamos a soma total \sum x_i multiplicando cada valor pela sua frequência:
\sum x_i = 5\cdot 4 + 6\cdot 5 + 7\cdot 6 + 8\cdot 3 + 9\cdot 2
Calculemos cada termo:
5\cdot 4 = 20,\quad 6\cdot 5 = 30,\quad 7\cdot 6 = 42,\quad 8\cdot 3 = 24,\quad 9\cdot 2 = 18
Somando:
\sum x_i = 20 + 30 + 42 + 24 + 18 = 134
Agora aplicamos a fórmula da média:
\bar{x} = \frac{134}{20}
Fazendo a divisão:
\bar{x}=6,7
(uso da vírgula como separador decimal conforme pedido).

Passo 3

Agora a mediana. Primeiro a definição e regra prática:
  • Ordenamos os dados em ordem crescente.
  • Se n for ímpar, a mediana é o valor na posição \frac{n+1}{2}.
  • Se n for par, a mediana é a média aritmética dos valores nas posições \frac{n}{2} e \frac{n}{2}+1.
Aqui n=20 (par), então a mediana será a média dos valores nas posições 10 e 11, depois de ordenar.
Ordenando os dados (usei as contagens feitas antes) obtemos:
5,5,5,5,6,6,6,6,6,7,7,7,7,7,7,8,8,8,9,9
Contando posições: os quatro primeiros são 5 (posições 1–4), as cinco ocorrências de 6 ocupam as posições 5–9, e os seis 7 ocupam as posições 10–15. Assim:
  • valor na posição 10 é 7,
  • valor na posição 11 é 7.
Logo a mediana é a média de 7 e 7:
\text{Mediana} = \frac{7+7}{2} = 7

Passo 4

Agora a moda. Definição: a moda é o(s) valor(es) que aparecem com maior frequência na amostra. Usamos a tabela de frequências já calculada:
5:\,4,\quad 6:\,5,\quad 7:\,6,\quad 8:\,3,\quad 9:\,2
A maior frequência é 6, correspondente ao valor 7. Portanto a amostra é unimodal e a moda é 7.

Passo 5

Resumo rápido do que fizemos (para fixar): calculamos a soma usando frequências para obter \sum x_i=134, dividimos por n=20 para achar a média \bar{x}=6,7; ordenamos os dados e usamos as posições 10 e 11 para obter a mediana 7; e identificamos a maior frequência para achar a moda 7. Você conseguiu — passo a passo! Força na prova!

Resposta

Média: 6,7
Mediana: 7
Moda: 7

Exercícios relacionados