Exercício 3. Verifique que
R=r^{l}
e
R=r^{-(l+1)}
são soluções independentes se \lambda=l(l+1).
Até o momento, l pode ser qualque número real positivo.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos é dado:
  • Dado que l é um número real positivo.
  • Precisamos verificar que as funções R_1(r)=r^{l}e R_2(r)=r^{-(l+1)}são soluções independentes de uma equação diferencial do tipo (a equação radial habitual que aparece neste contexto): r^{2}R''(r)+2rR'(r)-\lambda R(r)=0,desde que \lambda=l(l+1).
  • O que se pede: (i) mostrar que substituindo \lambda=l(l+1) ambas as funções satisfazem a equação; (ii) mostrar que R_1 e R_2 são linearmente independentes (ou seja, não são múltiplos uma da outra).
Observação sobre domínio: como l é real (não necessariamente inteiro), as potências r^{l} e r^{-(l+1)} são bem definidas e diferenciáveis para r>0. Então trabalharemos no domínio r>0.

Passo 2

Regra útil e preparação: derivadas de potências de r.
  • Regra básica: para qualquer número real n, \frac{d}{dr}\,r^{n}=n\,r^{n-1}, \qquad \frac{d^{2}}{dr^{2}}\,r^{n}=n(n-1)\,r^{n-2}.Vou usar essa regra repetidas vezes. Ela vem diretamente da regra do poder da diferenciação.

Passo 3

Verificação para R_1(r)=r^{l}.
  • Calcule as derivadas usando a regra: R_1'(r)=l\,r^{l-1}, \qquad R_1''(r)=l(l-1)\,r^{l-2}.
  • Substituindo na equação r^{2}R_1''+2rR_1'-\lambda R_1obtemos r^{2}\bigl(l(l-1)r^{l-2}\bigr)+2r\bigl(l r^{l-1}\bigr)-\lambda r^{l}.Simplificando os fatores de r: l(l-1)r^{l}+2l\,r^{l}-\lambda r^{l}.Agrupando: \bigl(l(l-1)+2l-\lambda\bigr)r^{l}=\bigl(l(l+1)-\lambda\bigr)r^{l}.
  • Conclusão: se escolhermos \lambda=l(l+1) então o coeficiente entre parênteses zera, logo r^{2}R_1''+2rR_1'-\lambda R_1=0,ou seja, R_1(r)=r^{l} é solução quando \lambda=l(l+1).

Passo 4

Verificação para R_2(r)=r^{-(l+1)}.
  • Calcule as derivadas: R_2'(r)=-(l+1)\,r^{-(l+2)}, \qquad R_2''(r)=(l+1)(l+2)\,r^{-(l+3)}.(Usei a regra do poder: duas diferenciações sucessivas.)
  • Substituindo na equação: r^{2}R_2''+2rR_2'-\lambda R_2fica r^{2}\bigl((l+1)(l+2)r^{-(l+3)}\bigr)+2r\bigl(-(l+1)r^{-(l+2)}\bigr)-\lambda r^{-(l+1)}.Simplificando os fatores de r: (l+1)(l+2)r^{-(l+1)}-2(l+1)r^{-(l+1)}-\lambda r^{-(l+1)}.Agrupando: \bigl((l+1)(l+2)-2(l+1)-\lambda\bigr)r^{-(l+1)}.Simplificando o termo entre parênteses: (l+1)(l+2-2)-\lambda=(l+1)l-\lambda=l(l+1)-\lambda.
  • Conclusão: novamente, para \lambda=l(l+1) o fator é zero e r^{2}R_2''+2rR_2'-\lambda R_2=0,ou seja, R_2(r)=r^{-(l+1)} também é solução quando \lambda=l(l+1).

Passo 5

Mostrar que R_1 e R_2 são linearmente independentes (intuição e teste).
  • Intuição rápida: se duas soluções fossem múltiplos escalares uma da outra, teríamos r^{l}=C\,r^{-(l+1)} para todo r no domínio; isso implicaria r^{2l+1}=C, constante independente de r, o que não é possível para r variando (a menos que o expoente seja zero, o que aqui não ocorre porque 2l+1>0). Mas é melhor usar um teste formal: o wronskiano.
  • Definição do wronskiano para duas funções R_1,R_2: W[R_1,R_2](r)= \begin{vmatrix} R_1(r) & R_2(r)\\[4pt] R_1'(r) & R_2'(r) \end{vmatrix} =R_1(r)R_2'(r)-R_1'(r)R_2(r).Se W não se anula em algum ponto (ou não é identicamente zero em um intervalo), as funções são linearmente independentes nesse intervalo.
  • Calcule o wronskiano usando R_1=r^{l} e R_2=r^{-(l+1)} (derivadas já obtidas): W(r)=r^{l}\bigl(-(l+1)r^{-(l+2)}\bigr)-\bigl(l r^{l-1}\bigr)\bigl(r^{-(l+1)}\bigr).Simplificando: W(r)=-(l+1)r^{-2}-l r^{-2}=-(2l+1)r^{-2}.
  • Observação sobre o valor: para r>0 e l\ge 0 temos 2l+1>0, então W(r)=-(2l+1)r^{-2}\neq 0\quad\text{para todo }r>0.Assim o wronskiano é diferente de zero em todo o domínio r>0, o que prova que R_1 e R_2 são linearmente independentes em r>0.]

Passo 6

Resumo didático e conclusão final (motivação para prova):
  • Verificar soluções consiste em: (i) calcular R',R'' e (ii) substituir na equação linear homogênea para ver se o resultado é 0. Aqui isso reduz a um fator comum (l(l+1)-\lambda), por isso a escolha \lambda=l(l+1) é a condição necessária e suficiente para zerar a equação.
  • Provar independência com o wronskiano é um método direto e robusto: se o wronskiano não é identicamente zero num intervalo, as soluções são linearmente independentes naquele intervalo. No nosso caso obtivemos explicitamente W(r)=-(2l+1)r^{-2}, não nulo para r>0.
  • Portanto, para qualquer l>0 e tomando \lambda=l(l+1), as funções r^{l} e r^{-(l+1)} formam um par de soluções linearmente independentes da equação r^{2}R''+2rR'-\lambda R=0no domínio r>0. Isso significa que a solução geral dessa equação (quando \lambda=l(l+1)) é uma combinação linear R(r)=A\,r^{l}+B\,r^{-(l+1)}com constantes A,B.

Resposta

Sim. Para \lambda=l(l+1) as funções R=r^{l} e R=r^{-(l+1)} satisfazem
r^{2}R''+2rR'-\lambda R=0
e são linearmente independentes em r>0 (o wronskiano é W(r)=-(2l+1)r^{-2}\neq0).

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