Exercício 5. Escreva explicitamente:
Passo 1
O enunciado pede para escrever explicitamente
. No entanto, o enunciado que você me enviou não diz qual é a função
— não há expressão explícita do tipo
, nem uma relação implícita do tipo
, nem uma figura, tabela ou outra informação que defina
. Portanto, a informação dada é insuficiente para calcular um valor ou uma fórmula específica para
.
Passo 2
Por que isso importa? Explicar o que significa “escrever explicitamente
”.
- A derivada
é uma função que dá a taxa de variação de em relação a . Para obter uma fórmula explícita para é preciso conhecer a forma de (ou a relação entre e ). - Sem saber se
é, por exemplo, , , definida implicitamente por , ou qualquer outra definição, não dá para “escrever explicitamente” a derivada.
Passo 3
O que eu faria na prova dependendo do tipo de definição que você tivesse — resumo rápido das técnicas com fórmulas e explicações passo a passo.
Se
for dada explicitamente como
:
- Use as regras básicas de diferenciação. Principais regras (cada fórmula está aqui e em seguida explico com exemplo):
-
Exemplo simples e passo a passo: se
, então porque aplicamos a regra da potência:. -
Outro exemplo com cadeia e produto:
. Primeiro identifique e . Então Aqui usei produto e, dentro de, a regra da cadeia: .
Passo 4
Se
for definida implicitamente por uma equação
: técnica de diferenciação implícita.
- Ideia: diferencie ambos os lados em relação a
, tratando como função de (ou seja, quando derivar uma ocorrência de apareça um fator por cadeia). - Fórmula genérica: a partir de
, onde é a derivada parcial de em relação a e a derivada parcial em relação a . Depois isola-se - Exemplo passo a passo: para a circunferência
. Diferenciando:
Isolando
:
Observação: aqui usei que
pela regra da cadeia.
Passo 5
Se
for a função inversa de
: regra da derivada da inversa.
- Se
e é diferenciável e , então a derivada da função inversa é (Aqui é derivada de em termos de ; se quiser uma fórmula em , substitua .) - Exemplo:
. Então e
Passo 6
Caso especial útil na prova: diferenciação logarítmica (bom quando
aparece como potência com base e expoente variáveis).
- Se
, faça em ambos os lados: Diferencie: Então - Exemplo rápido:
. Aqui , . Então logo
Passo 7
Dicas práticas para a prova (passo a passo quando vir “escreva explicitamente
”):
- Ler atentamente: o enunciado deu
(explícita)? ou (implícita)? ou só uma figura/table? - Se for explícita, aplicar regras diretas (potência, cadeia, produto, quociente). Faça cada derivada de uma parte e combine.
- Se for implícita, diferencie ambos os lados em relação a
, pegue todos os termos com e isole . - Se for inversa, use
com atenção para reescrever em termos de se necessário. - Se parecer um monstro
, pense em log-diferenciação. - Mostre todas as etapas na folha — em provas o raciocínio importa tanto quanto o resultado.
Passo 8
Se você quiser, me envia agora a definição exata de
(a expressão explícita, ou a relação implícita, ou a figura/tabela que define
). Aí eu escrevo
explicitamente e te mostro cada passo bem mastigado para você entender e conseguir fazer na prova.
Resposta
Não é possível determinar
porque o enunciado não fornece nenhuma definição ou relação que determine
(não há
, nem
, nem figura/tabela).