Exercício 5. Escreva explicitamente:
y^{\prime}(x)

Passo 1

O enunciado pede para escrever explicitamente y'(x). No entanto, o enunciado que você me enviou não diz qual é a função y — não há expressão explícita do tipo y(x)=\dots, nem uma relação implícita do tipo F(x,y)=0, nem uma figura, tabela ou outra informação que defina y. Portanto, a informação dada é insuficiente para calcular um valor ou uma fórmula específica para y'(x).

Passo 2

Por que isso importa? Explicar o que significa “escrever explicitamente y'(x)”.
  • A derivada y'(x) é uma função que dá a taxa de variação de y em relação a x. Para obter uma fórmula explícita para y'(x) é preciso conhecer a forma de y (ou a relação entre x e y).
  • Sem saber se y é, por exemplo, y(x)=x^2, y(x)=\sin x, y definida implicitamente por x^2+y^2=1, ou qualquer outra definição, não dá para “escrever explicitamente” a derivada.

Passo 3

O que eu faria na prova dependendo do tipo de definição que você tivesse — resumo rápido das técnicas com fórmulas e explicações passo a passo.
Se y for dada explicitamente como y(x)=f(x):
  • Use as regras básicas de diferenciação. Principais regras (cada fórmula está aqui e em seguida explico com exemplo): \text{(regra da soma)}\quad (u+v)' = u' + v',
\text{(regra do produto)}\quad (u\cdot v)' = u'\,v + u\,v',
\text{(regra do quociente)}\quad \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - u v'}{v^2},
\text{(regra da cadeia)}\quad (f(g(x)))' = f'(g(x))\cdot g'(x),
\text{(potência)}\quad (x^n)' = n x^{n-1}.ê
  • Exemplo simples e passo a passo: se y(x)=x^3, então
    y'(x)=3x^2,
    porque aplicamos a regra da potência: (x^n)' = n x^{n-1}.
  • Outro exemplo com cadeia e produto: y(x)=(\sin x)\,e^{x^2}. Primeiro identifique u=\sin x e v=e^{x^2}. Então
    y'(x)=u'v+uv'=(\cos x)\,e^{x^2}+(\sin x)\,e^{x^2}\cdot(2x).
    Aqui usei produto e, dentro de v', a regra da cadeia: (e^{x^2})' = e^{x^2}\cdot (2x).

Passo 4

Se y for definida implicitamente por uma equação F(x,y)=0: técnica de diferenciação implícita.
  • Ideia: diferencie ambos os lados em relação a x, tratando y como função de x (ou seja, quando derivar uma ocorrência de y apareça um fator y'(x) por cadeia).
  • Fórmula genérica: a partir de F(x,y)=0, \frac{d}{dx}F(x,y(x))=0 \quad\Rightarrow\quad F_x(x,y)+F_y(x,y)\,y'(x)=0,onde F_x é a derivada parcial de F em relação a x e F_y a derivada parcial em relação a y. Depois isola-se y'(x) = -\frac{F_x(x,y)}{F_y(x,y)}.
  • Exemplo passo a passo: para a circunferência x^2 + y^2 - 1 = 0. Diferenciando: \frac{d}{dx}(x^2) + \frac{d}{dx}(y^2) - \frac{d}{dx}(1) = 0
2x + 2y\,y'(x) - 0 = 0.
Isolando y'(x):
2y\,y'(x) = -2x \quad\Rightarrow\quad y'(x) = -\frac{x}{y}.
Observação: aqui usei que \dfrac{d}{dx}y^2 = 2y\,y'(x) pela regra da cadeia.

Passo 5

Se y for a função inversa de x=g(y): regra da derivada da inversa.
  • Se x=g(y) e g é diferenciável e g'(y)\neq 0, então a derivada da função inversa y=g^{-1}(x) é y'(x) = \frac{1}{g'(y)}.(Aqui g'(y) é derivada de g em termos de y; se quiser uma fórmula em x, substitua y=g^{-1}(x).)
  • Exemplo: x = e^{y}. Então y=\ln x e y'(x) = \frac{1}{e^{y}} = \frac{1}{x}.

Passo 6

Caso especial útil na prova: diferenciação logarítmica (bom quando y aparece como potência com base e expoente variáveis).
  • Se y = f(x)^{g(x)}, faça \ln em ambos os lados: \ln y = g(x)\ln f(x).Diferencie: \frac{y'}{y} = g'(x)\ln f(x) + g(x)\frac{f'(x)}{f(x)}.Então y'(x) = y\left[g'(x)\ln f(x) + g(x)\frac{f'(x)}{f(x)}\right].
  • Exemplo rápido: y = x^{x}. Aqui f(x)=x, g(x)=x. Então \ln y = x\ln x,\qquad \frac{y'}{y} = \ln x + 1,logo y'(x)=x^{x}(\ln x + 1).

Passo 7

Dicas práticas para a prova (passo a passo quando vir “escreva explicitamente y'(x)”):
  1. Ler atentamente: o enunciado deu y=\dots (explícita)? ou F(x,y)=0 (implícita)? ou só uma figura/table?
  2. Se for explícita, aplicar regras diretas (potência, cadeia, produto, quociente). Faça cada derivada de uma parte e combine.
  3. Se for implícita, diferencie ambos os lados em relação a x, pegue todos os termos com y' e isole y'.
  4. Se for inversa, use y' = 1/(g'(y)) com atenção para reescrever em termos de x se necessário.
  5. Se parecer um monstro f(x)^{g(x)}, pense em log-diferenciação.
  6. Mostre todas as etapas na folha — em provas o raciocínio importa tanto quanto o resultado.

Passo 8

Se você quiser, me envia agora a definição exata de y (a expressão explícita, ou a relação implícita, ou a figura/tabela que define y). Aí eu escrevo y'(x) explicitamente e te mostro cada passo bem mastigado para você entender e conseguir fazer na prova.

Resposta

Não é possível determinar \,y'(x)\, porque o enunciado não fornece nenhuma definição ou relação que determine y (não há y(x), nem F(x,y)=0, nem figura/tabela).

Exercícios relacionados