Exercício P.1.3.7. Água a \mathrm{T}=40^{\circ} \mathrm{C}, flui sobre uma placa de alumínio de 10 mm de espessura. A placa é eletricamente aquecida do lado oposto ao da água. A superfície sob a água esta a \mathrm{T}=59,8^{\circ} \mathrm{C} e a superfície oposta está a 60^{\circ} \mathrm{C}. Para as condições de regime permanente, determine o coeficiente de transferência de calor (coeficiente de película) entre a água e a placa. A condutividade térmica do alumínio é k=204,1 \mathrm{~W} / \mathrm{m} . \mathrm{K} ( a 60^{\circ} \mathrm{C} )
Resposta : 206,1 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} . \mathrm{K}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (todas extraídas do enunciado):
  • Temperatura do fluido (água) longe da placa: T_\infty = 40^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura da superfície da placa em contato com a água: T_s = 59{,}8^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura da superfície oposta (lado aquecido): T_{hot} = 60^\circ\mathrm{C}.
  • Espessura da placa: L = 10\\ \mathrm{mm} = 0{,}01\\ \mathrm{m}.
  • Condutividade térmica do alumínio à 60^\circ\mathrm{C}: k = 204{,}1\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}\cdot\mathrm{K}.
O que o enunciado pede:
  • Determinar o coeficiente de transferência de calor por convecção entre a água e a placa, isto é, h.

Passo 2

Modelo físico e ideia geral (explicação didática):
  • Em regime permanente, a potência térmica que sai da superfície interna aquecida atravessa a placa por condução e é removida pela água por convecção. Em regime permanente e em uma placa plana e uniforme, o fluxo de calor por unidade de área (densidade de fluxo), que chamamos de q'', é o mesmo em condução e em convecção no ponto de contato.
  • Condução na placa (Lei de Fourier, forma unidimensional para perfil linear de temperatura): a lei diz que
q'' = -k\,\frac{dT}{dx}.
Aqui q'' é o fluxo de calor por unidade de área ( \mathrm{W}/\mathrm{m}^2), k é a condutividade térmica ( \mathrm{W}/\mathrm{m}\cdot\mathrm{K}), e dT/dx é o gradiente de temperatura na direção da espessura. Para uma placa de espessura L com temperatura praticamente linear entre as faces, isso vira a forma prática
q'' = k\,\frac{T_{hot}-T_s}{L}.
Observação: diferenças em graus Celsius são iguais a diferenças em Kelvin, então pode operar com 60^\circ\mathrm{C}-59{,}8^\circ\mathrm{C}=0{,}2\\ \mathrm{K}.

Passo 3

Convecção na superfície (Lei de Newton do resfriamento):
  • A transferência convectiva na superfície é dada por
q'' = h\,(T_s - T_\infty),
onde h é o coeficiente convectivo que queremos ( \mathrm{W}/\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{K}), T_s é a temperatura da superfície e T_\infty é a temperatura do fluido distante.

Passo 4

Igualando os dois fluxos (condição de equilíbrio em regime permanente) e isolando h:
k\,\frac{T_{hot}-T_s}{L} = h\,(T_s - T_\infty) \quad\Longrightarrow\quad h = \frac{k\,(T_{hot}-T_s)}{L\,(T_s - T_\infty)}.
Explicando: a razão acima diz que o coeficiente convectivo é igual ao fluxo conduzido através da placa (proporcional à queda de temperatura através dela) dividido pela queda de temperatura entre a superfície e o fluido. Isso faz sentido físico: pequena queda na placa e grande queda com o fluido implicam pequeno h; vice-versa dá grande h.

Passo 5

Calcular as diferenças de temperatura numéricas e listar valores:
\Delta T_{cond} = T_{hot}-T_s = 60 - 59{,}8 = 0{,}2\\ \mathrm{K},
\Delta T_{conv} = T_s - T_\infty = 59{,}8 - 40 = 19{,}8\\ \mathrm{K},
L = 0{,}01\\ \mathrm{m},\qquad k = 204{,}1\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}\cdot\mathrm{K}.

Passo 6

Calcular primeiro o fluxo de calor por condução através da placa:
q'' = k\,\frac{\Delta T_{cond}}{L} = 204{,}1\cdot\frac{0{,}2}{0{,}01} = 204{,}1\cdot 20 = 4082\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2.
Unidades conferem: \mathrm{W}/\mathrm{m}\cdot\mathrm{K}\times \mathrm{K}/\mathrm{m} = \mathrm{W}/\mathrm{m}^2.

Passo 7

Calcular h usando q''=h\,\Delta T_{conv}:
h = \frac{q''}{\Delta T_{conv}} = \frac{4082}{19{,}8} \approx 206{,}0606\ldots\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{K}.
Arredondando convenientemente para uma casa decimal (como na resposta dada):
h \approx 206{,}1\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{K}.

Passo 8

Dica rápida para a prova (curta e amiga): sempre verifique que usou diferenças de temperatura e não temperaturas absolutas, e que unidades batem (m, K, W). Um erro comum é confundir qual diferença vai no numerador (queda na placa) e qual vai no denominador (queda entre superfície e fluido) — aqui a dedução por igualar fluxos evita esse erro. Força aí, tá indo bem!

Resposta

206{,}1\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{K}

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