Exercício P.1.3.5. Um tanque de formato cúbico, com 1 m de lado, é utilizado para armazenar um produto químico a 210^{\circ} \mathrm{C}, com coeficiente de película interno de 80 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} . \mathrm{K}. A parede do tanque é constituída de uma camada interna de carbono ( \mathrm{k}=22 \mathrm{~W} / \mathrm{m} . \mathrm{K} ) de 40 mm de espessura, uma camada intermediária de refratário ( \mathrm{k}=0,212 \mathrm{~W} / \mathrm{m} . \mathrm{K}) e um invólucro de aço ( \mathrm{k}=60 \mathrm{~W} / \mathrm{m} . \mathrm{K} ) de 10 mm de espessura. Por motivo de segurança dos trabalhadores, a temperatura da superfície externa do aço não deve ser maior que 60^{\circ} \mathrm{C}. Considerando que a temperatura ambiente é 30^{\circ} \mathrm{C}, com coeficiente de película externo de 20 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} . \mathrm{K}, determine:
a) o fluxo de calor na condição de segurança, ou seja, 60^{\circ} \mathrm{C} na superfície externa do aço
b) a espessura do refratário para atender a condição de segurança a temperatura da superfície externa do aço se a camada de refratário for substituída por de uma de isolante ( \mathrm{k}= 0,0289 \mathrm{~W} / \mathrm{m} . \mathrm{K}) de mesma espessura.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (peguei todos os números do enunciado).
Dados:
  • Geometria: tanque cúbico com lado 1\\ \mathrm{m}. Área de uma face: 1\\ \mathrm{m}^2. Área total externa: A_{\rm tot}=6\\ \mathrm{m}^2.
  • Temperaturas:
    • Produto (temperatura interna): T_i=210^\circ\mathrm{C}.
    • Temperatura ambiente: T_\infty=30^\circ\mathrm{C}.
    • Temperatura máxima permitida da superfície externa do aço (condição de segurança): T_{s,ext}=60^\circ\mathrm{C}.
  • Coeficientes de convecção:
    • interno: h_i=80\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}.
    • externo: h_o=20\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}.
  • Camadas da parede (de dentro para fora), com espessuras dadas quando fornecidas:
    • camada interna de carbono: k_{\rm c}=22\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}, espessura L_{\rm c}=40\\ \mathrm{mm}=0,04\\ \mathrm{m}.
    • camada intermediária de refratário: k_{\rm r}=0{,}212\\ \mathrm{W/(m\cdot K)} — espessura não informada no enunciado.
    • invólucro de aço externo: k_{\rm s}=60\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}, espessura L_{\rm s}=10\\ \mathrm{mm}=0,01\\ \mathrm{m}.
O enunciado pede:
(a) o fluxo de calor (total) na condição de segurança, isto é, quando a superfície externa do aço está a 60^\circ\mathrm{C};
(b) se a camada de refratário for substituída por uma camada isolante com k_{\rm ins}=0{,}0289\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}, determinar a espessura necessária dessa camada isolante para atender a mesma condição de segurança (manter a superfície externa do aço a 60^\circ\mathrm{C}).
Observação de interpretação: como no item (b) não foi fornecida espessura do refratário original, interpreto que a pergunta pede a espessura da nova camada isolante necessária para que, com as demais camadas (carbono e aço) dadas, a superfície externa do aço fique a 60^\circ\mathrm{C}. Vou resolver seguindo essa interpretação.

Passo 2

Conceitos e método (aula rápida):
  • Em regime estacionário unidimensional, as resistências térmicas em série (convecção e condução) somam-se. Para transferências por unidade de área, as resistências são:
    • resistência por convecção: R''_{\rm conv}=\dfrac{1}{h} (unidade \mathrm{K\cdot m^2/W});
    • resistência por condução de uma camada plana: R''_{\rm cond}=\dfrac{L}{k}.
      Aqui uso resistência por unidade de área (marco R''), porque o problema tem faces planas de área conhecida; o fluxo por unidade de área é q'' e o fluxo total é Q=q''\cdot A_{\rm tot}.
  • A lei análoga de Ohm para calor (por unidade de área) entre a temperatura do fluido interno T_i e a temperatura de superfície externa do aço T_{s,ext} é:
q''=\dfrac{T_i-T_{s,ext}}{R''_{\rm total}},
onde, no caso com a camada isolante de espessura L_{\rm ins},
R''_{\rm total}=\dfrac{1}{h_i}+\dfrac{L_{\rm c}}{k_{\rm c}}+\dfrac{L_{\rm ins}}{k_{\rm ins}}+\dfrac{L_{\rm s}}{k_{\rm s}}.
  • Além disso, a convecção externa entre a superfície externa do aço a T_{s,ext} e o ambiente a T_\infty gera um fluxo por unidade de área
q''=h_o\,(T_{s,ext}-T_\infty).
No item (a) nós temos T_{s,ext} dado, por isso podemos obter q'' diretamente pela convecção externa. No item (b) exigimos que a nova camada isolante permita que T_{s,ext}=60^\circ\mathrm{C}; então impondo o mesmo q'' e usando a expressão com resistências, encontra-se L_{\rm ins}.

Passo 3

Resolvendo (a) — fluxo de calor quando T_{s,ext}=60^\circ\mathrm{C}.
Usando a convecção externa:
q''=h_o\,(T_{s,ext}-T_\infty).
Substituindo números:
q''=20\cdot(60-30)=20\cdot 30=600\\ \mathrm{W/m^2}.
Fluxo total através das seis faces do cubo:
Q=q''\cdot A_{\rm tot}=600\cdot 6=3600\\ \mathrm{W}.
Comentário rápido: esse é o calor que deve ser removido do produto para que a superfície externa do aço se mantenha a 60^\circ\mathrm{C} (os mecanismos internos e de condução irão, em regime, ajustar-se a esse fluxo).

Passo 4

Resolvendo (b) — espessura da nova camada isolante L_{\rm ins} (com k_{\rm ins}=0{,}0289\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}) necessária para que a superfície externa do aço fique a 60^\circ\mathrm{C}.
Raciocínio: se a superfície externa do aço deve ser 60^\circ\mathrm{C}, o fluxo por unidade de área já calculado é q''=600\\ \mathrm{W/m^2}. Esse mesmo fluxo deve satisfazer a queda de temperatura entre o fluido interno e a superfície externa do aço segundo
q''=\dfrac{T_i-T_{s,ext}}{R''_{\rm total}}
com
R''_{\rm total}=\dfrac{1}{h_i}+\dfrac{L_{\rm c}}{k_{\rm c}}+\dfrac{L_{\rm ins}}{k_{\rm ins}}+\dfrac{L_{\rm s}}{k_{\rm s}}.
Isolando L_{\rm ins}:
\dfrac{L_{\rm ins}}{k_{\rm ins}}=\dfrac{T_i-T_{s,ext}}{q''}-\left(\dfrac{1}{h_i}+\dfrac{L_{\rm c}}{k_{\rm c}}+\dfrac{L_{\rm s}}{k_{\rm s}}\right),
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L_{\rm ins}=k_{\rm ins}\left[\dfrac{T_i-T_{s,ext}}{q''}-\left(\dfrac{1}{h_i}+\dfrac{L_{\rm c}}{k_{\rm c}}+\dfrac{L_{\rm s}}{k_{\rm s}}\right)\right].

Passo 5

Cálculo numérico detalhado (todos os termos em \mathrm{K\cdot m^2/W} para resistências):
  1. Primeiro calcule o termo \dfrac{T_i-T_{s,ext}}{q''}:
\dfrac{T_i-T_{s,ext}}{q''}=\dfrac{210-60}{600}=\dfrac{150}{600}=0{,}25\\ \mathrm{K\cdot m^2/W}.
  1. Calcule cada resistência conhecida:
\dfrac{1}{h_i}=\dfrac{1}{80}=0{,}0125\\ \mathrm{K\cdot m^2/W},
\dfrac{L_{\rm c}}{k_{\rm c}}=\dfrac{0{,}04}{22}=0{,}0018181818\\ \mathrm{K\cdot m^2/W},
\dfrac{L_{\rm s}}{k_{\rm s}}=\dfrac{0{,}01}{60}=0{,}0001666667\\ \mathrm{K\cdot m^2/W}.
Somando essas três resistências:
\dfrac{1}{h_i}+\dfrac{L_{\rm c}}{k_{\rm c}}+\dfrac{L_{\rm s}}{k_{\rm s}}=0{,}0125+0{,}0018181818+0{,}0001666667=0{,}0144848485\\ \mathrm{K\cdot m^2/W}.
  1. Assim a resistência requerida da camada isolante é:
\dfrac{L_{\rm ins}}{k_{\rm ins}}=0{,}25-0{,}0144848485=0{,}2355151515\\ \mathrm{K\cdot m^2/W}.
  1. Finalmente, a espessura necessária:
L_{\rm ins}=k_{\rm ins}\cdot 0{,}2355151515=0{,}0289\cdot 0{,}2355151515\approx 0{,}00681\\ \mathrm{m}.
Em milímetros:
L_{\rm ins}\approx 6{,}81\\ \mathrm{mm}.
Breve comentário: o valor é relativamente pequeno porque o coeficiente térmico do isolante é bem baixo e porque a maior resistência já vem do transporte convectivo interno; portanto uma camada fina de isolante de baixa condutividade bastará para alcançar a condição desejada.

Resposta

a) Q=3600\\ \mathrm{W}
b) L_{\rm ins}\approx 0{,}00681\\ \mathrm{m}\approx 6{,}81\\ \mathrm{mm}

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