Exercício P.1.3.6. Ar na pressão de 6 \mathrm{kN} / \mathrm{m}^{2} e temperatura de 300^{\circ} \mathrm{C}, fluí com velocidade de 10 \mathrm{~m} / \mathrm{s} sobre uma placa plana de comprimento 0,5 \mathrm{~m} e 0,25 \mathrm{~m} de largura. Determine a taxa de transferência de calor necessária para manter a superfície da placa na temperatura de 27{ }^{\circ} \mathrm{C}. Dados:
  • Considere regime permanente e despreze os efeitos da radiação.
  • Para fluxo laminar ( \operatorname{Re}<5 \times 10^{5} ) seguinte correlação adimensional é apropriada para este tipo de escoamento:
    N u=0,664 \cdot \operatorname{Re}_{L}{ }^{1 / 2} \cdot \operatorname{Pr}^{1 / 2}, onde : N u_{L}=\frac{h \cdot L}{k} \quad e \quad \operatorname{Re}_{L}=\frac{v_{\infty} \cdot L}{v} ( L= comprimento da placa)
  • As propriedades estimadas do ar e o número de Prandt são:
v=5,21 \times 10^{-4} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s} \quad k=0,0364 \mathrm{~W} / \mathrm{m} \cdot \mathrm{~K} \quad \operatorname{Pr}=0,687

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados fornecidos (peguei estes números do enunciado):
  • Pedido: determinar a taxa de transferência de calor necessária para manter a superfície da placa na temperatura de 27^\circ\mathrm{C} enquanto o ar a 300^\circ\mathrm{C} flui sobre ela (regime permanente, sem radiação).
  • Geometria da placa:
    • comprimento L = 0,5\\ \mathrm{m},
    • largura W = 0,25\\ \mathrm{m}.
  • Condições do escoamento:
    • velocidade livre do ar v_{\infty} = 10\\ \mathrm{m/s},
    • pressão do ar p = 6\\ \mathrm{kN/m^{2}} (fornecida no enunciado; não será necessária diretamente porque a viscosidade cinemática já foi dada).
  • Temperaturas:
    • temperatura do escoamento T_{\infty} = 300^\circ\mathrm{C},
    • temperatura da superfície T_{s} = 27^\circ\mathrm{C}.
  • Propriedades do ar (fornecidas):
    • viscosidade cinemática \nu = 5,21\times10^{-4}\\ \mathrm{m^{2}/s},
    • condutividade térmica k = 0,0364\\ \mathrm{W/(m\cdot K)},
    • número de Prandtl \mathrm{Pr} = 0,687.
  • Correlação recomendada para escoamento laminar sobre placa plana (valida se \operatorname{Re}_{L}<5\times10^{5}): \mathrm{Nu}_L = 0,664\;\operatorname{Re}_L^{1/2}\;\mathrm{Pr}^{1/2},onde \mathrm{Nu}_L=\dfrac{h\,L}{k},\qquad \operatorname{Re}_L=\dfrac{v_{\infty}\,L}{\nu}.
Observação de método (escolha feita sem pedir nada a mais): vou calcular \operatorname{Re}_L para confirmar que o escoamento é laminar e então usar a correlação dada para obter \mathrm{Nu}_L, daí calcular o coeficiente convectivo h e finalmente a taxa de calor \dot{Q}=hA(T_{\infty}-T_{s}). Assumo que o escoamento está atuando sobre uma face da placa (caso as duas faces estejam expostas ao escoamento, basta dobrar a área e o resultado).

Passo 2

Calcular o número de Reynolds e verificar o regime (a fórmula e o significado).
  • O número de Reynolds baseado no comprimento L é a razão entre os efeitos de inércia e os efeitos viscosos do escoamento; sua fórmula:
\operatorname{Re}_L=\dfrac{v_{\infty}\,L}{\nu},
onde v_{\infty} é a velocidade livre, L é o comprimento característico e \nu é a viscosidade cinemática.
  • Substituindo os valores dados:
\operatorname{Re}_L=\dfrac{10\cdot 0,5}{5,21\times10^{-4}}.
Calcule passo a passo:
10\cdot 0,5 = 5,
\operatorname{Re}_L=\dfrac{5}{5,21\times10^{-4}} \approx 9596{,}9.
  • Comparação com o limite da correlação: 9596{,}9 < 5\times10^{5}, portanto o escoamento é laminar e a correlação fornecida é aplicável.

Passo 3

Entender e usar a correlação de Nusselt para obter \mathrm{Nu}_L (explicando o significado das grandezas).
  • A definição do número de Nusselt é:
\mathrm{Nu}_L=\dfrac{h\,L}{k},
onde h é o coeficiente convectivo de transferência de calor (em \mathrm{W/(m^{2}\cdot K)}), L é o comprimento e k é a condutividade térmica do fluido. \mathrm{Nu}_L é adimensional e relaciona a transferência convectiva à difusiva por condução.
  • A correlação dada para escoamento laminar sobre placa plana é
\mathrm{Nu}_L = 0,664\;\operatorname{Re}_L^{1/2}\;\mathrm{Pr}^{1/2}.
  • Calcular \operatorname{Re}_L^{1/2} e \mathrm{Pr}^{1/2}:
\operatorname{Re}_L^{1/2} \approx \sqrt{9596{,}9} \approx 97{,}96,
\mathrm{Pr}^{1/2} \approx \sqrt{0{,}687} \approx 0{,}8289.
  • Multiplicando na correlação:
\mathrm{Nu}_L = 0,664 \times 97{,}96 \times 0{,}8289 \approx 53{,}92.

Passo 4

Calcular o coeficiente convectivo h a partir de \mathrm{Nu}_L.
  • Reescrevendo a definição de Nusselt para isolar h:
h = \dfrac{\mathrm{Nu}_L\;k}{L}.
  • Substituindo os valores:
h = \dfrac{53{,}92 \times 0{,}0364}{0,5}.
  • Calcule passo a passo:
53{,}92 \times 0{,}0364 \approx 1{,}9624\\ \mathrm{W/(m\cdot K)},
h \approx \dfrac{1{,}9624}{0,5} = 3{,}9248\\ \mathrm{W/(m^{2}\cdot K)}.
Arredondando adequadamente: h \approx 3{,}925\\ \mathrm{W/(m^{2}\cdot K)}.

Passo 5

Área da placa, diferença de temperatura e observação sobre unidades.
  • Área da face considerada (assumindo uma face exposta ao escoamento):
A = L \cdot W = 0,5 \times 0,25 = 0,125\\ \mathrm{m^{2}}.
  • Diferença de temperatura (diferença Celsius é igual a diferença em Kelvin):
\Delta T = T_{\infty} - T_{s} = 300^\circ\mathrm{C} - 27^\circ\mathrm{C} = 273\\ \mathrm{K}.

Passo 6

Calcular a taxa de transferência de calor convectiva \dot{Q}.
  • Lei de convecção de superfície (taxa de calor por convecção):
\dot{Q} = h\,A\,\Delta T,
onde \dot{Q} está em \mathrm{W} quando h está em \mathrm{W/(m^{2}\cdot K)}, A em \mathrm{m^{2}} e \Delta T em \mathrm{K}.
  • Substituindo os valores:
\dot{Q} = 3{,}9248 \times 0,125 \times 273.
  • Calcule passo a passo:
3{,}9248 \times 0,125 = 0{,}4906\\ (\mathrm{W/(m^{2}\cdot K)}\cdot\mathrm{m^{2}}=\mathrm{W/K}),
\dot{Q} = 0{,}4906 \times 273 \approx 133{,}9\\ \mathrm{W}.
Arredondando: \dot{Q} \approx 134\\ \mathrm{W}.

Passo 7

Cheque rápido e observação final (para a prova e cultura prática).
  • Cheque de consistência: o valor de h obtido ( \approx 3{,}9\\ \mathrm{W/(m^{2}\cdot K)}) é razoável para convecção forçada de ar sobre superfície lisa em baixas velocidades e comprimentos moderados — sinais que o resultado está consistente.
  • Observação importante para a prova: se a placa tivesse as duas faces expostas e ambas mantidas a 27^\circ\mathrm{C} com o ar fluindo sobre ambas, a área efetiva seria o dobro e a taxa de calor dobraria (isto é, \dot{Q}_{\text{duas faces}} \approx 2\times134\\ \mathrm{W}=268\\ \mathrm{W}). Sempre verifique no enunciado se se considera uma ou duas faces.

Resposta

\dot{Q} \approx 134\\ \mathrm{W}

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