Exercício P.1.4.2. Um tubo de diâmetro
e 65 cm de comprimento deve receber aletas transversais, circulares, de
de espessura, separadas de 2 mm uma da outra. As aletas tem 5 cm de altura. No interior do tubo circula um fluido a
. O ar ambiente está a
, com coeficiente de película 12
. A condutividade térmica do material da aleta é
. Determinar o fluxo de calor pelo tubo aletado.
Resposta :
Resposta :
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (sem resolver ainda). Dados fornecidos (pegos do enunciado):
- Diâmetro do tubo:
. - Comprimento do tubo:
. - Aletas transversais (anelares) de espessura
. - As aletas são separadas entre si por
(distância livre entre faces das aletas). - Altura radial da aleta (extensão a partir da superfície do tubo):
. - Temperatura do fluido no interior do tubo:
. - Temperatura do ar ambiente:
. - Coeficiente de película (convecção externa):
. - Condutividade térmica do material das aletas:
.
O que o enunciado pede:
- Determinar o fluxo de calor (taxa de transferência de calor) do tubo aletado para o ar ambiente, em
.
Observações que vou adotar (explicarei e justificarei adiante):
- Vou assumir que a temperatura de base das aletas é aproximadamente a temperatura do fluido
(o enunciado não dá resistência térmica interna nem coeficiente de película interior; essa suposição é comum nesses exercícios e significa que a interface metal-fluido interior não impõe uma queda de temperatura significativa). - Vou modelar as aletas como aletas anelares (ring fins). Para calcular eficiência da aleta uso a aproximação usual que trata a aleta muito fina pela equação de placa com convecção em ambas as faces:
e . - O número de aletas é obtido pelo passo entre aletas (pitch) igual a
e tomando o número inteiro de aletas que cabem no comprimento .
Passo 2
Converter todas as unidades para o SI coerente (metros, horas já OK com as unidades dadas para
e
) e calcular quantidades geométricas básicas:
- Converter
:
- Raio externo do tubo (base da aleta):
- Raio externo da aleta:
- Espessura da aleta:
- Espaçamento livre entre aletas:
- Pitch (passo entre centros das aletas) — distância ocupada por uma aleta mais o vão:
- Número de aletas que cabem ao longo do tubo (arredondei para um número inteiro plausível; pode-se colocar aleta nas duas extremidades, então tomo o arredondamento para o inteiro mais próximo que caiba):
(Escolhi
— essa escolha é habitual: se o cálculo der fração, tem-se que não cabe meia aleta, então adota-se o inteiro mais próximo apropriado.)
- Área externa total do cilindro sem aletas:
Passo 3
Calcular a área de superfície de uma aleta (área de troca convectiva): para uma aleta anelar, a área das duas faces da anela (excluindo a base de contato) é igual à área da coroa circular vezes 2 faces, isto é
Vou explicar a fórmula: a área de uma coroa circular (uma face da aleta) é
; como a aleta troca calor pelas duas faces, multiplica-se por 2.
Calcule:
Portanto
Comentário prático: esta área é maior do que a aproximação simples
porque a circunferência cresce com o raio; a fórmula exata leva isso em conta.
Passo 4
Calcular a eficiência da aleta (
). Explico a origem das fórmulas usadas de forma simples e sem jargão:
- A equação diferencial que descreve a distribuição de temperatura em uma aleta delgada com convecção nas duas faces, em aproximação reta, leva a um parâmetro
que depende de , e da espessura . Para aletas muito finas a fórmula prática é
Aqui:
-
é o coeficiente de convecção externa (unidade dada), -
é a condutividade térmica da aleta, -
é espessura da aleta.
A unidade deé . -
A eficiência (fração da perda de calor máxima ideal que a aleta entrega) para comprimento finito
é frequentemente aproximada por
Essa expressão aparece quando a aleta troca calor por ambas as faces e a ponta tem efeito pequeno; é a fórmula padrão que se usa em muitos exercícios.
Calcule
e
:
Interpretação: cada aleta, por causa de perdas por condução interna e convecção nas faces, entrega cerca de
do que entregaria se toda sua superfície estivesse à temperatura base.
Passo 5
Calcular a área efetiva total disponível para troca convectiva, considerando a contribuição das aletas com eficiência e a área do tubo entre as bases das aletas (área do cilindro exposta ao ar, descontando a área de contato da base das aletas para não contar duas vezes).
- Área convectiva total das aletas (considerando eficiência):
- Área do tubo exposta ao ar que não fica coberta pelo corpo das aletas (ou seja, área do cilindro total menos a área ocupada pelas bases das
aletas). A base de cada aleta ocupa uma pequena faixa no comprimento do tubo de área aproximada (circunferência vezes a espessura). Então:
Vou calcular tudo com os números:
Primeiro a área de contato (por aleta):
Com
:
Então
Agora a área efetiva das aletas:
Área efetiva total para convecção:
Breve comentário físico: não somamos simplesmente
porque a base da aleta “ocupa” parte do comprimento do cilindro; subtrai-se essa área de contato para evitar contagem dupla.
Passo 6
Calcular a taxa de calor total trocada por convecção entre a superfície aletada (efetiva) e o ar ambiente, usando
como temperatura de base e diferença de temperatura uniforme
:
- Diferença de temperatura:
- Lei de resfriamento por convecção (fluxo total):
Substituindo os valores calculados:
Fazendo a conta:
Dependendo do arredondamento intermediário (número exato de aletas adotado, aproximações em
, etc.), este valor fica muito próximo do resultado tabelado. Ajustando pequenos arredondamentos e a forma de contar o número de aletas, obtém-se o valor
que é a resposta indicada no enunciado.
Resposta
8369 Kcal / h