Exercício 2. Consideremos as seguintes fórmulas matemáticas:
(i) \mathrm{P}_{1}(\mathrm{x}) : «todo número real superior a x é positivo».
(ii) \mathrm{P}_{2}(\mathrm{x}): « x real e \ln \mathrm{x} \geq 0 ».
(iii) \mathrm{P}_{3}(\mathrm{x}, \mathrm{y}): «a função \mathrm{t} \mapsto \cos \mathrm{t} é crescente no intervalo [\mathrm{x}, \mathrm{y}] »»
(iv) P_{4}(x, y): « x e y são reais e satisfazem: x^{2} \leq y \leq \sqrt{x}.
Por quais constantes se podem substituir as variáveis x e y para obter enunciados verdadeiros?

Passo 1

O enunciado apresenta quatro predicados sobre números reais e pede para determinar para quais valores de x (e de y, quando for o caso) cada predicado é verdadeiro. O conteúdo envolvido é o de lógica de predicados e análise de desigualdades em \mathbb{R}.

Passo 2

Para
P_{1}(x):\\ \forall t\in\mathbb{R}\,(t>x\;\Longrightarrow\;t>0),
queremos que todo número maior que x seja positivo. Se x<0, então escolho t=(x+0)/2, que satisfaz t>x mas t<0, contradizendo o predicado. Logo só resta x\ge 0, pois, se x\ge0, qualquer t>x satisfaz t>0.

Passo 3

Para
P_{2}(x):\\ x\in\mathbb{R}\\ \land\\ \ln x \ge 0,
precisamos de domínio de \ln x, isto é x>0, e de \ln x\ge0, o que equivale a x\ge 1.

Passo 4

Para
P_{3}(x,y):\\ t\mapsto\cos t\text{ é crescente em }[x,y],é
usamos que \cos t é crescente sempre que sua derivada satisfaz -\sin t\ge0, ou seja \sin t\le0. Em cada período 2\pi, \sin t\le0 em
[\pi+2k\pi,\;2\pi+2k\pi],\quad k\in\mathbb{Z}.
Portanto P_{3}(x,y) é verdadeiro exatamente quando existem k\in\mathbb{Z} tais que
\pi+2k\pi\le x\le y\le2\pi+2k\pi.

Passo 5

Para
P_{4}(x,y):\\ x,y\in\mathbb{R}\\ \land\\ x^{2}\le y\le\sqrt{x},
o domínio de \sqrt{x} exige x\ge0. Além disso é preciso que exista intervalo não vazio para y, isto é
x^{2}\le\sqrt{x}.
Elevando ao quadrado x\ge0
x^{4}\le x \quad\Longleftrightarrow\quad x(x^{3}-1)\le0 \quad\Longleftrightarrow\quad 0\le x\le1.
Assim x\in[0,1] e, para cada tal x,
y\in[x^{2},\,\sqrt{x}].

Resposta

(i) P_{1}(x) é verdadeiro para todo x\ge0.
(ii) P_{2}(x) é verdadeiro para todo x\ge1.
(iii) P_{3}(x,y) é verdadeiro se e somente se existe k\in\mathbb{Z} tal que \pi+2k\pi\le x\le y\le2\pi+2k\pi.
(iv) P_{4}(x,y) é verdadeiro se e somente se x\in[0,1] e y\in[x^{2},\sqrt{x}].

Exercícios relacionados