Exercício 2. Consideremos as seguintes fórmulas matemáticas:
(i)
: «todo número real superior a x é positivo».
(ii)
« x real e
».
(iii)
«a função
é crescente no intervalo
(iv)
«
e y são reais e satisfazem:
.
Por quais constantes se podem substituir as variáveis x e y para obter enunciados verdadeiros?
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
Passo 1
O enunciado apresenta quatro predicados sobre números reais e pede para determinar para quais valores de
(e de
, quando for o caso) cada predicado é verdadeiro. O conteúdo envolvido é o de lógica de predicados e análise de desigualdades em
.
Passo 2
Para
queremos que todo número maior que
seja positivo. Se
, então escolho
, que satisfaz
mas
, contradizendo o predicado. Logo só resta
pois, se
, qualquer
satisfaz
.
Passo 3
Para
precisamos de domínio de
, isto é
, e de
, o que equivale a
Passo 4
Para
usamos que
é crescente sempre que sua derivada satisfaz
, ou seja
. Em cada período
,
em
Portanto
é verdadeiro exatamente quando existem
tais que
Passo 5
Para
o domínio de
exige
. Além disso é preciso que exista intervalo não vazio para
, isto é
Elevando ao quadrado
dá
Assim
e, para cada tal
,
Resposta
(i)
é verdadeiro para todo
.
(ii) é verdadeiro para todo
.
(iii) é verdadeiro se e somente se existe
tal que
.
(iv) é verdadeiro se e somente se
e
.
(ii)
(iii)
(iv)