Questão 1 Dados a, b \in \mathbb{R} e n \in \mathbb{N}, sem usar indução, mostre que
a^{n}-b^{n}=(a-b) \cdot\left(a^{n-1}+a^{n-2} b+a^{n-3} b^{2}+\cdots a b^{n-2}+b^{n-1}\right) .

Passo 1

O enunciado dá a,b\in\mathbb{R} e n\in\mathbb{N} e pede para mostrar a identidade
a^{n}-b^{n}=(a-b)\cdot\bigl(a^{n-1}+a^{n-2}b+\cdots+ab^{n-2}+b^{n-1}\bigr).
Vou listar claramente o que temos e o que se pede:
  • Temos os números a e b (reais) e um inteiro positivo n.
  • Queremos provar a igualdade acima para todos esses valores, sem usar indução.

Passo 2

Uma forma direta (e sem dividir por a-b) é definir a soma que aparece no fator:
S = a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^{2}+\cdots+ab^{n-2}+b^{n-1}.
Aqui escrevi S explicitamente como a soma dos n termos indicados. O objetivo é calcular (a-b)S e ver o que obtém.

Passo 3

Calculemos aS e bS separadamente, usando distributividade (multiplicar cada termo da soma por a ou por b).
Primeiro,
aS = a\cdot a^{n-1}+a\cdot a^{n-2}b+\cdots+a\cdot b^{n-1}.
Cada produto simplifica as potências:
aS = a^{n}+a^{n-1}b+a^{n-2}b^{2}+\cdots+ab^{n-1}.
Agora,
bS = b\cdot a^{n-1}+b\cdot a^{n-2}b+\cdots+b\cdot b^{n-1}.
Simplificando:
bS = a^{n-1}b+a^{n-2}b^{2}+\cdots+ab^{n-1}+b^{n}.

Passo 4

Subtraindo as expressões obtidas, usando (a-b)S = aS - bS, vemos que muitos termos se cancelam:
aS - bS = \bigl(a^{n}+a^{n-1}b+a^{n-2}b^{2}+\cdots+ab^{n-1}\bigr) - \bigl(a^{n-1}b+a^{n-2}b^{2}+\cdots+ab^{n-1}+b^{n}\bigr).
Ao efetuar a subtração, todos os termos intermediários iguais se anulam, sobrando apenas
aS - bS = a^{n}-b^{n}.
Portanto
(a-b)S = a^{n}-b^{n},
ou, reescrevendo S pelo seu valor original,
a^{n}-b^{n}=(a-b)\cdot\bigl(a^{n-1}+a^{n-2}b+\cdots+ab^{n-2}+b^{n-1}\bigr).

Passo 5

Verificação do caso a=b: se a=b então a^{n}-b^{n}=0 e (a-b)\cdot(\cdots)=0 também, portanto a identidade é válida também quando a=b. Note que a demonstração anterior não dividiu por a-b, então é válida para todos os a,b.

Resposta

a^{n}-b^{n}=(a-b)\cdot\bigl(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^{2}+\cdots+ab^{n-2}+b^{n-1}\bigr)

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