Questão 1 Dados
e
, sem usar indução, mostre que
Passo 1
O enunciado dá
e
e pede para mostrar a identidade
Vou listar claramente o que temos e o que se pede:
- Temos os números
e (reais) e um inteiro positivo . - Queremos provar a igualdade acima para todos esses valores, sem usar indução.
Passo 2
Uma forma direta (e sem dividir por
) é definir a soma que aparece no fator:
Aqui escrevi
explicitamente como a soma dos
termos indicados. O objetivo é calcular
e ver o que obtém.
Passo 3
Calculemos
e
separadamente, usando distributividade (multiplicar cada termo da soma por
ou por
).
Primeiro,
Cada produto simplifica as potências:
Agora,
Simplificando:
Passo 4
Subtraindo as expressões obtidas, usando
, vemos que muitos termos se cancelam:
Ao efetuar a subtração, todos os termos intermediários iguais se anulam, sobrando apenas
Portanto
ou, reescrevendo
pelo seu valor original,
Passo 5
Verificação do caso
: se
então
e
também, portanto a identidade é válida também quando
. Note que a demonstração anterior não dividiu por
, então é válida para todos os
.