Exercício: Analisar a EDO
com as condiçães iniciais:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
com a condição inicial
. Esse tipo de equação é do conteúdo de EDOs separáveis: vamos identificar que ela pode ser escrita como uma relação entre
e
que permite separar variáveis e integrar. Também vamos verificar existência e unicidade da solução.
Passo 2
Escrevemos em forma padrão de EDO
e notamos que a função
é contínua em regiões onde
e satisfaz condição de Lipschitz em
. Pelo Teorema de Picard– Lindel"of, existe uma única solução passando por
em qualquer intervalo contido em
(ou
).
Passo 3
Como a equação é separável, colocamos todos os termos em
de um lado e em
do outro:
Passo 4
Integramos ambos os lados:
onde
é constante de integração.
Passo 5
Reescrevendo, temos
Denotando
, obtemos a solução geral
Aplicando
dá
, logo
.
Passo 6
A solução particular que satisfaz a condição inicial é
Como usamos a região
e o ponto inicial
, o domínio natural é
.