Exercício: Analisar a EDO x y^prime=2 y com as condiçães iniciais:
y(1)=2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
x,y' = 2,y
com a condição inicial y(1)=2. Esse tipo de equação é do conteúdo de EDOs separáveis: vamos identificar que ela pode ser escrita como uma relação entre y e x que permite separar variáveis e integrar. Também vamos verificar existência e unicidade da solução.

Passo 2

Escrevemos em forma padrão de EDO
y' = 2,yx
e notamos que a função f(x,y)=2yx é contínua em regiões onde x neq 0 e satisfaz condição de Lipschitz em y. Pelo Teorema de Picard– Lindel"of, existe uma única solução passando por (1,2) em qualquer intervalo contido em x>0 (ou x<0).

Passo 3

Como a equação é separável, colocamos todos os termos em y de um lado e em x do outro:
1y,dydx = 2x Longrightarrow dyy = 2,dxx

Passo 4

Integramos ambos os lados:
integral dyy = integral 2,dxx Longrightarrow lnlvert yrvert = 2,lnlvert xrvert + C,
onde C é constante de integração.

Passo 5

Reescrevendo, temos
lnlvert yrvert = lnl(lvert xrvert^2r) + C Longrightarrow lvert yrvert = e^C,lvert xrvert^2
Denotando k = pm e^C, obtemos a solução geral
y = k,x^2
Aplicando y(1)=2 2 = kcdot1^2, logo k=2.

Passo 6

A solução particular que satisfaz a condição inicial é
y(x) = 2,x^2
Como usamos a região xneq0 e o ponto inicial x=1>0, o domínio natural é x>0.

Resposta

y(x) = 2,x^2, x>0.

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