(2.5 pontos) Sejam e B=[ll2 & 6 2 & 1] matrizes invertíveis. Determine o traço da matriz X onde: 6(A^t)^-1 cdot B+X^t cdot B=B cdot A^t cdot B+B^2.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem duas matrizes quadradas A e B , ambas invertíveis. A missão é encontrar o traço da matriz X que satisfaz a seguinte equação:
6(A^t)^-1 cdot B + X^t cdot B = B cdot A^t cdot B + B^2
Aqui, A^t e B^t são as transpostas das matrizes A e B , respectivamente. Vamos usar conceitos de álgebra linear, como inversa de matrizes, transposta e traço (que é a soma dos elementos da diagonal principal de uma matriz).
Passo 2
Primeiro, vamos organizar a equação para isolar X^t . Para isso, vamos subtrair 6(A^t)^-1 cdot B de ambos os lados:
X^t cdot B = B cdot A^t cdot B + B^2 - 6(A^t)^-1 cdot B
Passo 3
Agora, para isolar X^t , precisamos multiplicar ambos os lados pela inversa de B , ou seja, B^-1 . Isso porque B cdot B^-1 = I , onde I é a matriz identidade.
X^t = ( B cdot A^t cdot B + B^2 - 6(A^t)^-1 cdot B ) cdot B^-1
Passo 4
Vamos simplificar a expressão multiplicando termo a termo:
X^t = B cdot A^t + B - 6(A^t)^-1
Isso porque B^2 cdot B^-1 = B e (A^t)^-1 cdot B cdot B^-1 = (A^t)^-1 .
Passo 5
Agora, para encontrar X , vamos transpor ambos os lados da equação:
X = ( B cdot A^t + B - 6(A^t)^-1 )^t
Lembrando que a transposta de uma soma é a soma das transpostas e a transposta de um produto de matrizes é o produto das transpostas na ordem inversa.
X = ( B cdot A^t )^t + B^t - 6( (A^t)^-1 )^t
Simplificando:
X = A cdot B^t + B - 6( (A^-1)^t )
E como (A^-1)^t = (A^t)^-1 , temos:
X = A cdot B^t + B - 6(A^t)^-1
Passo 6
Agora, queremos encontrar o traço de X , ou seja, tr(X) . O traço de uma matriz é a soma dos elementos da diagonal principal. Sabemos que o traço é uma função linear, então: