(2.5 pontos) Sejam A=[ll1 & 5 2 & 4] e B=[ll2 & 6 2 & 1] matrizes invertíveis. Determine o traço da matriz X onde: 6(A^t)^-1 cdot B+X^t cdot B=B cdot A^t cdot B+B^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem duas matrizes quadradas A e B , ambas invertíveis. A missão é encontrar o traço da matriz X que satisfaz a seguinte equação:
6(A^t)^-1 cdot B + X^t cdot B = B cdot A^t cdot B + B^2
Aqui, A^t e B^t são as transpostas das matrizes A e B , respectivamente. Vamos usar conceitos de álgebra linear, como inversa de matrizes, transposta e traço (que é a soma dos elementos da diagonal principal de uma matriz).

Passo 2

Primeiro, vamos organizar a equação para isolar X^t . Para isso, vamos subtrair 6(A^t)^-1 cdot B de ambos os lados:
X^t cdot B = B cdot A^t cdot B + B^2 - 6(A^t)^-1 cdot B

Passo 3

Agora, para isolar X^t , precisamos multiplicar ambos os lados pela inversa de B , ou seja, B^-1 . Isso porque B cdot B^-1 = I , onde I é a matriz identidade.
X^t = ( B cdot A^t cdot B + B^2 - 6(A^t)^-1 cdot B ) cdot B^-1

Passo 4

Vamos simplificar a expressão multiplicando termo a termo:
X^t = B cdot A^t + B - 6(A^t)^-1
Isso porque B^2 cdot B^-1 = B e (A^t)^-1 cdot B cdot B^-1 = (A^t)^-1 .

Passo 5

Agora, para encontrar X , vamos transpor ambos os lados da equação:
X = ( B cdot A^t + B - 6(A^t)^-1 )^t
Lembrando que a transposta de uma soma é a soma das transpostas e a transposta de um produto de matrizes é o produto das transpostas na ordem inversa.
X = ( B cdot A^t )^t + B^t - 6( (A^t)^-1 )^t
Simplificando:
X = A cdot B^t + B - 6( (A^-1)^t )
E como (A^-1)^t = (A^t)^-1 , temos:
X = A cdot B^t + B - 6(A^t)^-1

Passo 6

Agora, queremos encontrar o traço de X , ou seja, tr(X) . O traço de uma matriz é a soma dos elementos da diagonal principal. Sabemos que o traço é uma função linear, então:
tr(X) = tr( A cdot B^t ) + tr(B) - 6, tr( (A^t)^-1 )
Também, sabemos que tr(A cdot B^t) = tr(B cdot A^t) e que o traço da transposta de uma matriz é igual ao traço da matriz original.

Passo 7

Vamos calcular cada termo separadamente:
  1. Calcular tr(B cdot A^t) :
B = 2 & 6 2 & 1 , A^t = 1 & 2 5 & 4
Multiplicando B cdot A^t :
B cdot A^t = 2 cdot 1 + 6 cdot 5 & 2 cdot 2 + 6 cdot 4 2 cdot 1 + 1 cdot 5 & 2 cdot 2 + 1 cdot 4 = 2 + 30 & 4 + 24 2 + 5 & 4 + 4 = 32 & 28 7 & 8
Então,
tr(B cdot A^t) = 32 + 8 = 40
  1. Calcular tr(B) :
tr(B) = 2 + 1 = 3
  1. Calcular tr( (A^t)^-1 ) :
Primeiro, encontramos A^t :
A^t = 1 & 2 5 & 4
Calculando a inversa de A^t :
(A^t)^-1 = 1(1)(4) - (2)(5) 4 & -2 -5 & 1 = 14 - 10 4 & -2 -5 & 1 = 1-6 4 & -2 -5 & 1 = -23 & 13 56 & -16
Então,
tr( (A^t)^-1 ) = -23 + (-16) = -23 - 16 = -56

Passo 8

Agora, substituindo os valores encontrados na expressão do traço:
tr(X) = 40 + 3 - 6 (-56) = 43 + 5 = 48

Resposta

O traço da matriz X é 48 .

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