Exercício 6 (Análise Teórica - 1,5 pontos)
Discuta quando é preferível usar a regra dos trapézios repetida em vez de métodos de integração de ordem superior como Simpson.

Passo 1

O enunciado pede para discutir em que situações a regra dos trapézios composta (repetida) é mais vantajosa do que métodos de ordem superior, como a regra de Simpson. O conteúdo envolve noções de erro de discretização em métodos de quadratura numérica, custo computacional e características da função a integrar.

Passo 2

A regra dos trapézios composta aproxima
\int_{a}^{b}f(x)\,dx
por
T_n = \frac{h}{2}\bigl[f(a)+2\sum_{k=1}^{n-1}f(a+kh)+f(b)\bigr],
onde h=(b-a)/n. O erro de truncamento é
E_T = -\frac{(b-a)\,h^2}{12}\,f''(\xi)
para algum \xi\in[a,b], ou seja, O(h^2). A implementação é simples, requer apenas n+1 avaliações de f e soma de vetores.

Passo 3

A regra de Simpson composta usa subintervalos de comprimento h agrupados de dois em dois:
S_n = \frac{h}{3}\Bigl[f(a)+4\sum_{k=1}^{n/2}f(a+(2k-1)h)+2\sum_{k=1}^{n/2-1}f(a+2kh)+f(b)\Bigr],
com n par. O erro é
E_S = -\frac{(b-a)\,h^4}{180}\,f^{(4)}(\eta),
logo O(h^4), mas exige avaliação de derivadas de ordem até 4 e o número de intervalos deve ser par.

Passo 4

A escolha pela regra dos trapézios composta é preferível quando:
  1. A função f não é muito suave (derivadas de ordem mais alta são ruins ou não existem), de modo que o termo f^{(4)}(\eta) de Simpson seja instável.
  2. Queremos um algoritmo simples, com baixo custo de implementação e memória, pois trapézios usa apenas duas pontas de cada subintervalo.
  3. O domínio é periódico e f é suave e periódica: nesse caso a convergência exponencial do trapézio (pela cancelamento dos erros de contorno) pode superar Simpson mesmo sendo só O(h^2).
  4. O custo de avaliar f é elevado e não compensa usar pontos internos extras de Simpson; com o trapézio composta podemos adaptar h sem impor paridade de n.

Passo 5

Em resumo, embora Simpson tenha ordem de erro maior, a regra dos trapézios repetida se destaca em cenários de funções pouco suaves, periodicidade que favorece trapézio, necessidade de implementação simples ou alta penalização no custo de avaliação de f.

Resposta

A regra dos trapézios composta é preferível a Simpson quando a função a integrar não possui derivadas de ordem alta ou é apenas C^1, quando buscamos simplicidade de implementação e baixo custo de memória, quando a função é suave e periódica (convergência exponencial do trapézio) ou ainda quando as avaliações de f são caras e não justificam os pontos extras requeridos por Simpson.

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