Exercício 6 (Análise Teórica - 1,5 pontos)
Discuta quando é preferível usar a regra dos trapézios repetida em vez de métodos de integração de ordem superior como Simpson.
Discuta quando é preferível usar a regra dos trapézios repetida em vez de métodos de integração de ordem superior como Simpson.
Passo 1
O enunciado pede para discutir em que situações a regra dos trapézios composta (repetida) é mais vantajosa do que métodos de ordem superior, como a regra de Simpson. O conteúdo envolve noções de erro de discretização em métodos de quadratura numérica, custo computacional e características da função a integrar.
Passo 2
A regra dos trapézios composta aproxima
por
onde
. O erro de truncamento é
para algum
, ou seja,
. A implementação é simples, requer apenas
avaliações de
e soma de vetores.
Passo 3
A regra de Simpson composta usa subintervalos de comprimento
agrupados de dois em dois:
com
par. O erro é
logo
, mas exige avaliação de derivadas de ordem até 4 e o número de intervalos deve ser par.
Passo 4
A escolha pela regra dos trapézios composta é preferível quando:
- A função
não é muito suave (derivadas de ordem mais alta são ruins ou não existem), de modo que o termo de Simpson seja instável. - Queremos um algoritmo simples, com baixo custo de implementação e memória, pois trapézios usa apenas duas pontas de cada subintervalo.
- O domínio é periódico e
é suave e periódica: nesse caso a convergência exponencial do trapézio (pela cancelamento dos erros de contorno) pode superar Simpson mesmo sendo só . - O custo de avaliar
é elevado e não compensa usar pontos internos extras de Simpson; com o trapézio composta podemos adaptar sem impor paridade de .
Passo 5
Em resumo, embora Simpson tenha ordem de erro maior, a regra dos trapézios repetida se destaca em cenários de funções pouco suaves, periodicidade que favorece trapézio, necessidade de implementação simples ou alta penalização no custo de avaliação de
.
Resposta
A regra dos trapézios composta é preferível a Simpson quando a função a integrar não possui derivadas de ordem alta ou é apenas
, quando buscamos simplicidade de implementação e baixo custo de memória, quando a função é suave e periódica (convergência exponencial do trapézio) ou ainda quando as avaliações de
são caras e não justificam os pontos extras requeridos por Simpson.