Exercício 3 (Integração - Regra dos Trapézios - 2,0 pontos)

Considere a integral:
I=\int_{0}^{2}\left(x^{3}-2 x^{2}+3 x+1\right) d x
a) Calcule o valor exato da integral analiticamente.
b) Aproxime o valor da integral usando a regra dos trapézios simples com h=2.
c) Calcule o erro absoluto e o erro relativo percentual da aproximação.
d) Determine teoricamente qual seria o valor de h necessário para obter um erro absoluto menor que 10^{-3}.

Passo 1

O enunciado pede que calculemos a integral
I = \int_{0}^{2} \bigl(x^{3} - 2x^{2} + 3x + 1\bigr)\,dx
de quatro formas:
a) valor exato analítico;
b) aproximação pela regra dos trapézios simples com h=2;
c) erro absoluto e erro relativo percentual dessa aproximação;
d) valor de h necessário para garantir erro absoluto <10^{-3}.

Passo 2

Para encontrar I analiticamente, primeiro achamos uma antiderivada
F(x) = \int \bigl(x^{3} - 2x^{2} + 3x + 1\bigr)\,dx = \frac{x^{4}}{4} - \frac{2x^{3}}{3} + \frac{3x^{2}}{2} + x.
Então
I = F(2) - F(0) = \Bigl(\frac{2^{4}}{4} - \frac{2\cdot2^{3}}{3} + \frac{3\cdot2^{2}}{2} + 2\Bigr) - 0 = 4 - \frac{16}{3} + 6 + 2 = \frac{20}{3}.

Passo 3

Pela regra dos trapézios simples em [0,2] com h=2, temos
T = \frac{h}{2}\bigl[f(0)+f(2)\bigr] = \frac{2}{2}\bigl[f(0)+f(2)\bigr] = f(0)+f(2).
Como
f(0)=1,\quad f(2)=2^{3}-2\cdot2^{2}+3\cdot2+1=7,
a aproximação é
T = 1 + 7 = 8.

Passo 4

O erro absoluto é
E_{\text{abs}} = \bigl|I - T\bigr| = \Bigl|\frac{20}{3} - 8\Bigr| = \frac{4}{3}\approx1{,}333.
O erro relativo percentual é
E_{\text{rel}}\% = \frac{E_{\text{abs}}}{|I|}\times100\% = \frac{\tfrac{4}{3}}{\tfrac{20}{3}}\times100\% = 20\%.

Passo 5

Para a regra composta dos trapézios com passo h, o erro satisfaz
|E|\le \frac{(b-a)}{12}\,h^{2}\,\max_{[a,b]}|f''(x)|.
Aqui a=0, b=2 e
f''(x)=6x-4,\quad\max_{[0,2]}|6x-4|=8.
Logo
|E|\le \frac{2}{12}\,h^{2}\cdot 8 = \frac{4}{3}\,h^{2}.
Impondo \tfrac{4}{3}h^{2}<10^{-3}, vem
h^{2}<\frac{3}{4}\times10^{-3} \quad\Longrightarrow\quad h<\sqrt{\frac{3}{4}\times10^{-3}}\approx0{,}0274.

Resposta

a) \displaystyle \frac{20}{3}.
b) 8.
c) E_{\text{abs}}=\tfrac{4}{3}\approx1{,}333,\quad E_{\text{rel}}\%=20\%.
d) h\lesssim0{,}0274.

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