Questão 2. a) Esboce o conjunto
C=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} /|x|+|y| \leq 1\right\}
justificando sua resposta.
b) Calcule
\int_{\gamma}\left(x y^{2}-y\right) d x+\left(x^{2} y+2 x\right) d y
em que \gamma é a curva que parametriza a fronteira do conjunto C orientado no sentido anti-horário.

Passo 1

O enunciado define o conjunto
C = \{(x,y)\in \mathbb{R}^2 \mid |x| + |y| \le 1\}
e pede:
a) esboçar C,
b) calcular a integral de linha
\int_{\gamma}\bigl(xy^2 - y\bigr)\,dx \;+\;\bigl(x^2y + 2x\bigr)\,dy
em que \gamma é a fronteira de C orientada anti-horário.
O conteúdo usado será geometria de regiões definidas por valores absolutos e o Teorema de Green para transformar a integral de linha em integral dupla.

Passo 2

Para esboçar
|x| + |y| = 1
note que, em cada quadrante, as retas são:
– 1.º quadrante x,y\ge0: x + y = 1,
– 2.º x\le0,y\ge0: -x + y = 1,
– 3.º x,y\le0: -x - y = 1,
– 4.º x\ge0,y\le0: x - y = 1.
Elas se interceptam nos pontos (1,0), (0,1), (-1,0) e (0,-1), formando um losango (diamante). A região C é esse losango preenchido.

Passo 3

Para a parte (b), identifique
P(x,y)=xy^2 - y, \quad Q(x,y)=x^2y + 2x.
Pelo Teorema de Green,
\oint_{\gamma}P\,dx + Q\,dy = \iint_{C}\Bigl(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\Bigr)\,dA.
Calcule as derivadas:
\frac{\partial Q}{\partial x} =2xy + 2, \quad \frac{\partial P}{\partial y} =2xy - 1.
Logo
\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} =(2xy + 2) - (2xy - 1) =3.

Passo 4

Assim
\oint_{\gamma}P\,dx + Q\,dy = \iint_{C}3\,dA =3\,\mathrm{Area}\text{(C)}.
Falta calcular a área do losango C.

Passo 5

O losango tem diagonais de comprimento 2 (de (-1,0) a (1,0)) e 2 (de (0,-1) a (0,1)). A fórmula da área de um losango em função das diagonais d_1,d_2 é
\mathrm{Area} = \frac{d_1\,d_2}{2} = \frac{2\cdot2}{2} =2.
Portanto
\oint_{\gamma}P\,dx + Q\,dy =3 \times 2 =6.

Resposta

O esboço de C é um losango com vértices em (\pm1,0) e (0,\pm1).
O valor da integral de linha é 6.

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