Questão 2. a) Esboce o conjunto
justificando sua resposta.
b) Calcule
em que
é a curva que parametriza a fronteira do conjunto
orientado no sentido anti-horário.
b) Calcule
Passo 1
O enunciado define o conjunto
e pede:
a) esboçar ,
b) calcular a integral de linha
a) esboçar
b) calcular a integral de linha
em que
é a fronteira de
orientada anti-horário.
O conteúdo usado será geometria de regiões definidas por valores absolutos e o Teorema de Green para transformar a integral de linha em integral dupla.
O conteúdo usado será geometria de regiões definidas por valores absolutos e o Teorema de Green para transformar a integral de linha em integral dupla.
Passo 2
Para esboçar
note que, em cada quadrante, as retas são:
– 1.º quadrante :
,
– 2.º :
,
– 3.º :
,
– 4.º :
.
Elas se interceptam nos pontos ,
,
e
, formando um losango (diamante). A região
é esse losango preenchido.
– 1.º quadrante
– 2.º
– 3.º
– 4.º
Elas se interceptam nos pontos
Passo 3
Para a parte (b), identifique
Pelo Teorema de Green,
Calcule as derivadas:
Logo
Passo 4
Assim
Falta calcular a área do losango
.
Passo 5
O losango tem diagonais de comprimento
(de
a
) e
(de
a
). A fórmula da área de um losango em função das diagonais
é
Portanto
Resposta
O esboço de
é um losango com vértices em
e
.
O valor da integral de linha é .
O valor da integral de linha é