Exercício 5 (Aplicação Prática - 1,5 pontos)

Um sistema de molas conectadas é modelado pelo sistema linear:
\begin{aligned} 3 x_{1}-x_{2} & =2 \\\\ -x_{1}+3 x_{2}-x_{3} & =1 \\\\ -x_{2}+2 x_{3} & =3 \end{aligned}
onde x_{i} representa o deslocamento da i-ésima massa.
a) Analise qual método iterativo (Jacobi ou Gauss-Seidel) é mais adequado para este sistema.
b) Resolva o sistema usando o método escolhido até que \left\|x^{(k+1)}-x^{(k)}\right\|_{\infty}<0.01.
c) Interprete fisicamente o resultado obtido.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear que modela deslocamentos de massas ligadas por molas:
\begin{cases} 3x_{1}-x_{2}=2,\\\\ -\,x_{1}+3x_{2}-x_{3}=1,\\\\ -\,x_{2}+2x_{3}=3, \end{cases}
e pede (a) escolher o método iterativo adequado (Jacobi ou Gauss–Seidel), (b) resolver até \|x^{(k+1)}-x^{(k)}\|_\infty<0,01 e (c) interpretar fisicamente a solução. O conteúdo é métodos iterativos para sistemas lineares e vamos usar convergência pela dominância diagonal.

Passo 2

Verificamos a matriz do sistema
A=\begin{pmatrix} 3 & -1 & 0\\\\ -1 & 3 & -1\\\\ 0 & -1 & 2 \end{pmatrix}
é estritamente diagonalmente dominante (por exemplo, |3|>1, |3|>1+1, |2|>1). Assim tanto Jacobi quanto Gauss–Seidel convergem, mas Gauss–Seidel geralmente converge mais rápido, sendo portanto o mais adequado.

Passo 3

Escrevemos as fórmulas de Gauss–Seidel:
x_{1}^{(k+1)}=\frac{2+x_{2}^{(k)}}{3},\quad x_{2}^{(k+1)}=\frac{1+x_{1}^{(k+1)}+x_{3}^{(k)}}{3},\quad x_{3}^{(k+1)}=\frac{3+x_{2}^{(k+1)}}{2}.
Vamos iniciar com x^{(0)}=(0,0,0) e iterar até \|x^{(k+1)}-x^{(k)}\|_\infty<0,01.

Passo 4

Cálculo das iterações:
It. k=0:
x^{(1)}\approx(0,667,\;0,556,\;1,778),
\|x^{(1)}-x^{(0)}\|_\infty=1,778>0,01.
It. k=1:
x^{(2)}\approx(0,852,\;1,210,\;2,105),
\|x^{(2)}-x^{(1)}\|_\infty=0,654>0,01.
It. k=2:
x^{(3)}\approx(1,070,\;1,392,\;2,196),
\|x^{(3)}-x^{(2)}\|_\infty=0,218>0,01.
It. k=3:
x^{(4)}\approx(1,131,\;1,442,\;2,221),
\|x^{(4)}-x^{(3)}\|_\infty=0,061>0,01.
It. k=4:
x^{(5)}\approx(1,147,\;1,456,\;2,228),
\|x^{(5)}-x^{(4)}\|_\infty=0,017>0,01.
It. k=5:
x^{(6)}\approx(1,152,\;1,460,\;2,230),
\|x^{(6)}-x^{(5)}\|_\infty=0,005<0,01.
Convergiu em 6 iterações com
x\approx(1,152,\;1,460,\;2,230).

Passo 5

Fisicamente esses valores são os deslocamentos de equilíbrio das três massas sob as forças aplicadas: a primeira massa desloca cerca de 1,152, a segunda cerca de 1,460 e a terceira cerca de 2,230, refletindo que a massa mais à direita sofre maior deslocamento por ter mola mais “flexível” em série.

Resposta

a) Gauss–Seidel
b) x\approx(1,152,\;1,460,\;2,230)
c) Esses números são os deslocamentos de equilíbrio das massas no sistema de molas.

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