Exercício 6: Aplique o método da Bisseção e o da Falsa Posição para calcular a raiz positiva da função
, partindo do intervalo inicial [2; 3]. Compare os resultados.
Passo 1
O enunciado pede que eu encontre a raiz positiva da função
no intervalo inicial
usando dois métodos numéricos: o da Bisseção e o da Falsa Posição, com tolerância
. Além de aplicar cada método, preciso comparar os resultados (valor aproximado da raiz e eficiência/convergência).
Informações dadas e úteis que vou usar:
- A função é
. - Intervalo inicial:
e . - Valores iniciais da função (peguei do enunciado / calculei diretamente):
-
. -
.
-
- Há mudança de sinal em
( e ), portanto existe pelo menos uma raiz nesse intervalo. - Tolerância:
. Vou usar, para a Bisseção, o critério baseado no tamanho do intervalo (garante erro em menor que ). Para a Falsa Posição vou usar o critério (critério comum quando se quer que o resíduo da equação seja pequeno).
Passo 2
Breve explicação didática do método da Bisseção (pra você lembrar como aplicar na prova):
- Ideia: como
é contínua e , a raiz está entre e . Tomamos o ponto médio . Se achamos a raiz; se tem mesmo sinal que a raiz fica em ; caso contrário fica em . Repetimos até que o intervalo seja suficientemente pequeno. - Garantia de erro: após
iterações o comprimento do intervalo é . Logo, para assegurar erro em menor que basta escolher tal que
Aqui
e
. Calculo:
portanto
iterações são suficientes para garantir erro em
menor que
.
Passo 3
Aplicação passo a passo do método da Bisseção (mostrando em cada iteração
,
,
,
e a escolha do novo intervalo). Vou apresentar os valores numéricos suficientes para fazer à mão na prova.
Iteração 1:
Como
e
, novo intervalo
.
Iteração 2:
Sinal positivo
novo intervalo
.
Iteração 3:
Sinal negativo
novo intervalo
.
Iteração 4:
Sinal positivo
novo intervalo
.
Iteração 5:
Sinal positivo
novo intervalo
.
Iteração 6:
Sinal negativo
novo intervalo
.
Iteração 7:
Sinal positivo
novo intervalo
.
Iteração 8:
Sinal negativo
novo intervalo
.
Iteração 9:
Sinal positivo
novo intervalo
.
Iteração 10:
Sinal negativo
novo intervalo
.
Iteração 11:
Sinal positivo
novo intervalo
.
Iteração 12:
Sinal positivo
novo intervalo
.
Iteração 13:
(Só preciso do sinal para decidir; é negativo)
novo intervalo
.
Iteração 14:
com
negativo pequeno
novo intervalo
.
Iteração 15:
com
negativo pequeno
novo intervalo
.
Iteração 16:
com
negativo pequeno
novo intervalo
.
Iteração 17:
Aqui
ainda negativo pequeno, portanto após a atualização final o intervalo fica
com comprimento
. O ponto médio da última iteração (após 17 iterações) é
Observação sobre garantir a tolerância: após 17 iterações o erro em
satisfaz
, então a solução obtida pela Bisseção com 17 iterações satisfaz a tolerância pedida.
Passo 4
Agora a Falsa Posição (Regula Falsi): explicação rápida e aplicação.
Explicação do método:
- Fórmula do ponto de interpolação (reta que une
e ):
- Avalia-se
. Substitui-se o extremo cujo valor tem o mesmo sinal de . Repete-se até atender o critério (aqui tomo ).
Aplicação com cálculos (vou fornecer frações exatas quando possível porque deixam claro as contas):
Iteração 1:
Sinal negativo
substitui
por
. Novo intervalo
.
Iteração 2:
Negativo
atualizar
.
Iteração 3:
Usando a fórmula de interpolação:
Colocando em denominador comum (196) obtém-se a fração simplificada
Ainda negativo
atualizar
.
Iteração 4:
Aplicando a fórmula (fazendo as contas com frações), chega-se a
Ainda negativo, atualizar
.
Iteração 5:
Aplicando a interpolação:
Avaliação:
Como
, pará-se aqui pelo critério escolhido.
Observação: nas primeiras iteracões a Falsa Posição usa retas e tende a aproximar muito bem quando
é praticamente linear perto da raiz; por isso converge rapidamente neste caso.
Passo 5
Resumo dos resultados numéricos obtidos e interpretação (para comparação):
- Bisseção: após
iterações obtive
com garantia de erro em
menor que
.
- Falsa Posição: após
iterações (critério ) obtive
com
.
Comparação qualitativa e dica prática:
- Ambos aproximam a raiz
. - A Falsa Posição convergiu muito mais rapidamente aqui (5 iterações) do que a Bisseção (17 iterações), porque a função
é bem aproximada por uma reta localmente e a interpolação linear acerta rápido. - A Bisseção, por outro lado, tem convergência garantida e erro facilmente estimável (ótimo quando se precisa de prova formal do erro).
- Em prova: se pedirem número de iterações mínimo para a Bisseção com
, calcule . Para comparar, mostre que a Falsa Posição geralmente precisa de menos iterações quando é “bem comportada”.
Resposta
Bisseção:
(obtido em
iterações; erro em
).
Falsa Posição: (obtido em
iterações;
).
Falsa Posição: