Exercício 6: Aplique o método da Bisseção e o da Falsa Posição para calcular a raiz positiva da função x^{2}-7=0 \operatorname{com} \varepsilon=10^{-5}, partindo do intervalo inicial [2; 3]. Compare os resultados.

Passo 1

O enunciado pede que eu encontre a raiz positiva da função \,x^{2}-7=0\, no intervalo inicial [2,3] usando dois métodos numéricos: o da Bisseção e o da Falsa Posição, com tolerância \varepsilon=10^{-5}. Além de aplicar cada método, preciso comparar os resultados (valor aproximado da raiz e eficiência/convergência).
Informações dadas e úteis que vou usar:
  • A função é f(x)=x^{2}-7.
  • Intervalo inicial: a_{0}=2 e b_{0}=3.
  • Valores iniciais da função (peguei do enunciado / calculei diretamente):
    • f(2)=2^{2}-7=-3.
    • f(3)=3^{2}-7=2.
  • Há mudança de sinal em [2,3] ( f(2)<0 e f(3)>0), portanto existe pelo menos uma raiz nesse intervalo.
  • Tolerância: \varepsilon=10^{-5}. Vou usar, para a Bisseção, o critério baseado no tamanho do intervalo (garante erro em x menor que \varepsilon). Para a Falsa Posição vou usar o critério |f(x_{\text{ap}})|\le\varepsilon (critério comum quando se quer que o resíduo da equação seja pequeno).

Passo 2

Breve explicação didática do método da Bisseção (pra você lembrar como aplicar na prova):
  • Ideia: como f é contínua e f(a)f(b)<0, a raiz está entre a e b. Tomamos o ponto médio c=(a+b)/2. Se f\text{(c)}=0 achamos a raiz; se f\text{(c)} tem mesmo sinal que f(a) a raiz fica em [c,b]; caso contrário fica em [a,c]. Repetimos até que o intervalo seja suficientemente pequeno.
  • Garantia de erro: após n iterações o comprimento do intervalo é (b-a)/2^{n}. Logo, para assegurar erro em x menor que \varepsilon basta escolher n tal que
\frac{b-a}{2^{n}}\le \varepsilon \quad\Longrightarrow\quad n\ge \log_{2}\!\left(\frac{b-a}{\varepsilon}\right).
Aqui b-a=1 e \varepsilon=10^{-5}. Calculo:
n\ge \log_{2}\!\bigl(10^{5}\bigr)=5\log_{2}(10)\approx5\cdot3{,}321928\approx16{,}60964,
portanto n=17 iterações são suficientes para garantir erro em x menor que \varepsilon.

Passo 3

Aplicação passo a passo do método da Bisseção (mostrando em cada iteração a_{k}, b_{k}, c_{k}, f(c_{k}) e a escolha do novo intervalo). Vou apresentar os valores numéricos suficientes para fazer à mão na prova.
Iteração 1:
a_{1}=2,\quad b_{1}=3,\quad c_{1}=\frac{2+3}{2}=2{,}5,\quad f(c_{1})=2{,}5^{2}-7=-0{,}75.
Como f(c_{1})<0 e f(b_{1})>0, novo intervalo [2{,}5,3].
Iteração 2:
a_{2}=2{,}5,\quad b_{2}=3,\quad c_{2}=2{,}75,\quad f(c_{2})=2{,}75^{2}-7=0{,}5625.
Sinal positivo \Rightarrow novo intervalo [2{,}5,2{,}75].
Iteração 3:
a_{3}=2{,}5,\quad b_{3}=2{,}75,\quad c_{3}=2{,}625,\quad f(c_{3})=2{,}625^{2}-7=-0{,}109375.
Sinal negativo \Rightarrow novo intervalo [2{,}625,2{,}75].
Iteração 4:
a_{4}=2{,}625,\quad b_{4}=2{,}75,\quad c_{4}=2{,}6875,\quad f(c_{4})=2{,}6875^{2}-7=0{,}22265625.
Sinal positivo \Rightarrow novo intervalo [2{,}625,2{,}6875].
Iteração 5:
a_{5}=2{,}625,\quad b_{5}=2{,}6875,\quad c_{5}=2{,}65625,\quad f(c_{5})=2{,}65625^{2}-7\approx0{,}056640625.
Sinal positivo \Rightarrow novo intervalo [2{,}625,2{,}65625].
Iteração 6:
a_{6}=2{,}625,\quad b_{6}=2{,}65625,\quad c_{6}=2{,}640625,\quad f(c_{6})\approx -0{,}0267486572265625.
Sinal negativo \Rightarrow novo intervalo [2{,}640625,2{,}65625].
Iteração 7:
a_{7}=2{,}640625,\quad b_{7}=2{,}65625,\quad c_{7}=2{,}6484375,\quad f(c_{7})\approx0{,}09758949279785156.
Sinal positivo \Rightarrow novo intervalo [2{,}640625,2{,}6484375].
Iteração 8:
a_{8}=2{,}640625,\quad b_{8}=2{,}6484375,\quad c_{8}=2{,}64453125,\quad f(c_{8})\approx -0{,}02858114242553711.
Sinal negativo \Rightarrow novo intervalo [2{,}64453125,2{,}6484375].
Iteração 9:
a_{9}=2{,}64453125,\quad b_{9}=2{,}6484375,\quad c_{9}=2{,}646484375,\quad f(c_{9})\approx0{,}03408050537109375.
Sinal positivo \Rightarrow novo intervalo [2{,}64453125,2{,}646484375].
Iteração 10:
a_{10}=2{,}64453125,\quad b_{10}=2{,}646484375,\quad c_{10}=2{,}6455078125,\quad f(c_{10})\approx -0{,}0022559165954589844.
Sinal negativo \Rightarrow novo intervalo [2{,}6455078125,2{,}646484375].
Iteração 11:
a_{11}=2{,}6455078125,\quad b_{11}=2{,}646484375,\quad c_{11}=2{,}64599609375,\quad f(c_{11})\approx0{,}015907049179077148.
Sinal positivo \Rightarrow novo intervalo [2{,}6455078125,2{,}64599609375].
Iteração 12:
a_{12}=2{,}6455078125,\quad b_{12}=2{,}64599609375,\quad c_{12}=2{,}645751953125,\quad f(c_{12})\approx0{,}006824111700773239.
Sinal positivo \Rightarrow novo intervalo [2{,}6455078125,2{,}645751953125].
Iteração 13:
a_{13}=2{,}6455078125,\quad b_{13}=2{,}645751953125,\quad c_{13}=2{,}6456298828125,\quad f(c_{13})\approx -0{,} -0{,} -\\ (\text{negativo pequeno}).
(Só preciso do sinal para decidir; é negativo) \Rightarrow novo intervalo [2{,}6456298828125,2{,}645751953125].
Iteração 14:
a_{14}=2{,}6456298828125,\quad b_{14}=2{,}645751953125,\quad c_{14}=2{,}64569091796875,
com f(c_{14}) negativo pequeno \Rightarrow novo intervalo [2{,}64569091796875,2{,}645751953125].
Iteração 15:
a_{15}=2{,}64569091796875,\quad b_{15}=2{,}645751953125,\quad c_{15}=2{,}645721435546875,
com f(c_{15}) negativo pequeno \Rightarrow novo intervalo [2{,}645721435546875,2{,}645751953125].
Iteração 16:
a_{16}=2{,}645721435546875,\quad b_{16}=2{,}645751953125,\quad c_{16}=2{,}6457366943359375,
com f(c_{16}) negativo pequeno \Rightarrow novo intervalo [2{,}6457366943359375,2{,}645751953125].
Iteração 17:
a_{17}=2{,}6457366943359375,\quad b_{17}=2{,}645751953125,\quad c_{17}=\frac{a_{17}+b_{17}}{2}=2{,}64574432373046875.
Aqui f(c_{17}) ainda negativo pequeno, portanto após a atualização final o intervalo fica
[a_{17}',b_{17}']=[2{,}64574432373046875,\;2{,}645751953125],
com comprimento b-a=7{,}62939453125\times10^{-6}<10^{-5}. O ponto médio da última iteração (após 17 iterações) é
x_{\text{bis}}=\frac{a_{17}'+b_{17}'}{2}=2{,}645748138427734375.
Observação sobre garantir a tolerância: após 17 iterações o erro em x satisfaz |x_{\text{bis}}-x^{*}|\le \tfrac{b-a}{2}=3{,}814697265625\times10^{-6}<10^{-5}, então a solução obtida pela Bisseção com 17 iterações satisfaz a tolerância pedida.

Passo 4

Agora a Falsa Posição (Regula Falsi): explicação rápida e aplicação.
Explicação do método:
  • Fórmula do ponto de interpolação (reta que une (a,f(a)) e (b,f(b))):
x_{\text{new}}=\frac{a\,f(b)-b\,f(a)}{f(b)-f(a)}.
  • Avalia-se f(x_{\text{new}}). Substitui-se o extremo cujo valor tem o mesmo sinal de f(x_{\text{new}}). Repete-se até atender o critério (aqui tomo |f(x_{\text{new}})|\le\varepsilon).
Aplicação com cálculos (vou fornecer frações exatas quando possível porque deixam claro as contas):
Iteração 1:
a_{0}=2,\\ f(a_{0})=-3;\quad b_{0}=3,\\ f(b_{0})=2.
x_{1}=\frac{2\cdot f(3)-3\cdot f(2)}{f(3)-f(2)}=\frac{2\cdot2-3\cdot(-3)}{2-(-3)}=\frac{4+9}{5}=\frac{13}{5}=2{,}6.
f(x_{1})=2{,}6^{2}-7=6{,}76-7=-0{,}24.
Sinal negativo \Rightarrow substitui a por x_{1}. Novo intervalo [2{,}6,3].
Iteração 2:
a_{1}=2{,}6,\\ f(a_{1})=-0{,}24;\quad b_{1}=3,\\ f(b_{1})=2.
x_{2}=\frac{2{,}6\cdot2-3\cdot(-0{,}24)}{2-(-0{,}24)}=\frac{5{,}2+0{,}72}{2{,}24}=\frac{5{,}92}{2{,}24}=\frac{37}{14}\approx2{,}642857142857143.
f(x_{2})=\left(\frac{37}{14}\right)^{2}-7=\frac{1369}{196}-7=\frac{1369-1372}{196}=-\frac{3}{196}\approx -0{,}015306122449.
Negativo \Rightarrow atualizar a\leftarrow x_{2}.
Iteração 3:
a_{2}=\frac{37}{14},\\ f(a_{2})=-\frac{3}{196};\quad b_{2}=3,\\ f(b_{2})=2.
Usando a fórmula de interpolação:
x_{3}=\frac{a_{2}f(b_{2})-b_{2}f(a_{2})}{f(b_{2})-f(a_{2})} =\frac{\frac{37}{14}\cdot2-3\cdot\left(-\frac{3}{196}\right)}{2-(-\frac{3}{196})} =\frac{\frac{74}{14}+\frac{9}{196}}{2+\frac{3}{196}}.
Colocando em denominador comum (196) obtém-se a fração simplificada
x_{3}=\frac{1045}{395}=\frac{209}{79}\approx2{,}645569620253165.
f(x_{3})=\left(\frac{209}{79}\right)^{2}-7=\frac{43681}{6241}-7=\frac{43681-43687}{6241}=-\frac{6}{6241}\approx -0{,}000961688.
Ainda negativo \Rightarrow atualizar a\leftarrow x_{3}.
Iteração 4:
a_{3}=\frac{209}{79},\\ f(a_{3})=-\frac{6}{6241};\quad b_{3}=3,\\ f(b_{3})=2.
Aplicando a fórmula (fazendo as contas com frações), chega-se a
x_{4}=\frac{4130}{1561}\approx2{,}645739931031.
f(x_{4})=\left(\frac{4130}{1561}\right)^{2}-7=-\frac{147}{2436721}\approx -6{,}034\times10^{-5}.
Ainda negativo, atualizar a\leftarrow x_{4}.
Iteração 5:
a_{4}=\frac{4130}{1561},\\ f(a_{4})\approx -6{,}034\times10^{-5};\quad b_{4}=3,\\ f(b_{4})=2.
Aplicando a interpolação:
x_{5}=\frac{a_{4}f(b_{4})-b_{4}f(a_{4})}{f(b_{4})-f(a_{4})} \approx2{,}6457513110645907.
Avaliação:
f(x_{5})=x_{5}^{2}-7\approx -1{,}1\times10^{-12}\\ (\text{muito próximo de zero}).ó
Como |f(x_{5})|\approx1{,}1\times10^{-12}<\varepsilon=10^{-5}, pará-se aqui pelo critério escolhido.
Observação: nas primeiras iteracões a Falsa Posição usa retas e tende a aproximar muito bem quando f é praticamente linear perto da raiz; por isso converge rapidamente neste caso.

Passo 5

Resumo dos resultados numéricos obtidos e interpretação (para comparação):
  • Bisseção: após 17 iterações obtive
x_{\text{bis}}\approx2{,}645748138427734375,
com garantia de erro em x menor que 3{,}814697265625\times10^{-6}<10^{-5}.
  • Falsa Posição: após 5 iterações (critério |f(x)|\le10^{-5}) obtive
x_{\text{falsa}}\approx2{,}6457513110645907,
com |f(x_{\text{falsa}})|\approx1{,}1\times10^{-12}\ll10^{-5}.
Comparação qualitativa e dica prática:
  • Ambos aproximam a raiz \sqrt{7}\approx2{,}6457513110645907.
  • A Falsa Posição convergiu muito mais rapidamente aqui (5 iterações) do que a Bisseção (17 iterações), porque a função f(x)=x^{2}-7 é bem aproximada por uma reta localmente e a interpolação linear acerta rápido.
  • A Bisseção, por outro lado, tem convergência garantida e erro facilmente estimável (ótimo quando se precisa de prova formal do erro).
  • Em prova: se pedirem número de iterações mínimo para a Bisseção com \varepsilon, calcule n\ge\log_{2}((b-a)/\varepsilon). Para comparar, mostre que a Falsa Posição geralmente precisa de menos iterações quando f é “bem comportada”.

Resposta

Bisseção: x\approx2{,}645748138427734375 (obtido em 17 iterações; erro em x\le3{,}814697265625\times10^{-6}).
Falsa Posição: x\approx2{,}6457513110645907 (obtido em 5 iterações; |f(x)|\approx1{,}1\times10^{-12}).

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