Seja z_{1} z_{2} \neq 0, usando a forma polar com argumentos medidos em radianos, mostre que
\Re\left(z_{1} \overline{z_{2}}\right)=\left|z_{1}\right|\left|z_{2}\right|
se, e somente se, \arg \left(z_{1}\right)=\arg \left(z_{2}\right) \pm 2 n \pi(n=0,1,2, \ldots).

Passo 1

O que o enunciado dá e pede:
  • Dados: z_{1} e z_{2} são números complexos com z_{1}z_{2}\neq0. Portanto \lvert z_{1}\rvert>0 e \lvert z_{2}\rvert>0.
  • Pedido: mostrar que
\Re\!\left(z_{1}\overline{z_{2}}\right)=\lvert z_{1}\rvert\lvert z_{2}\rvert
se, e somente se,
\arg\!(z_{1})=\arg\!(z_{2})\pm 2n\pi,\qquad n=0,1,2,\ldots
Ou seja, provar a equivalência (bi-implicação) entre a igualdade das partes reais do produto e a igualdade dos argumentos módulo 2\pi.

Passo 2

Lembrando a forma polar e propriedades úteis (mini-aula):
  • Qualquer número complexo não nulo pode ser escrito em forma polar como
z_{k}=r_{k}e^{i\theta_{k}},
onde r_{k}=\lvert z_{k}\rvert>0 e \theta_{k}=\arg(z_{k}) (argumento medido em radianos, definido módulo 2\pi).
  • A conjugada de z_{2} é
\overline{z_{2}}=r_{2}e^{-i\theta_{2}}.
  • Produto em forma exponencial: multiplicam-se os módulos e somam-se os argumentos. Em particular,
z_{1}\overline{z_{2}}=r_{1}r_{2}e^{i(\theta_{1}-\theta_{2})}.
  • A parte real de um número complexo em forma exponencial obedece
\Re\!\bigl(\rho e^{i\varphi}\bigr)=\rho\cos\varphi,
para \rho\in\mathbb{R}_{\ge0} e \varphi\in\mathbb{R}. (Isto vem da identidade e^{i\varphi}=\cos\varphi+i\sin\varphi.)

Passo 3

Aplicando as fórmulas ao nosso produto:
z_{1}\overline{z_{2}}=r_{1}r_{2}e^{i(\theta_{1}-\theta_{2})}.
Tomando a parte real,
\Re\!\left(z_{1}\overline{z_{2}}\right)=r_{1}r_{2}\cos\!\bigl(\theta_{1}-\theta_{2}\bigr).
A condição dada no enunciado é
\Re\!\left(z_{1}\overline{z_{2}}\right)=\lvert z_{1}\rvert\lvert z_{2}\rvert,
ou seja, usando r_{k}=\lvert z_{k}\rvert,
r_{1}r_{2}\cos\!\bigl(\theta_{1}-\theta_{2}\bigr)=r_{1}r_{2}.

Passo 4

Como r_{1}r_{2}>0 (porque z_{1}z_{2}\neq0), podemos dividir ambos os lados por r_{1}r_{2} e obter
\cos\!\bigl(\theta_{1}-\theta_{2}\bigr)=1.
Agora um fato trigonométrico básico: \cos\varphi=1 exatamente quando
\varphi=2n\pi,\qquad n\in\mathbb{Z}.
Portanto
\theta_{1}-\theta_{2}=2n\pi\quad\Longleftrightarrow\quad \theta_{1}=\theta_{2}+2n\pi.
Isso prova a direção direta: se \Re(z_{1}\overline{z_{2}})=\lvert z_{1}\rvert\lvert z_{2}\rvert então \arg(z_{1})=\arg(z_{2})+2n\pi.

Passo 5

Provar a direção recíproca (o “somente se” completo): se
\arg(z_{1})=\arg(z_{2})+2n\pi,
então \theta_{1}-\theta_{2}=2n\pi e, como \cos(2n\pi)=1, voltando à expressão do Passo 3 temos
\Re\!\left(z_{1}\overline{z_{2}}\right)=r_{1}r_{2}\cos(2n\pi)=r_{1}r_{2}=\lvert z_{1}\rvert\lvert z_{2}\rvert.
Assim a equivalência completa está demonstrada. Observação: escrever \arg(z_{1})=\arg(z_{2})\pm 2n\pi é equivalente a \arg(z_{1})=\arg(z_{2})+2n\pi com n inteiro (o sinal ± só reforça que são iguais módulo 2\pi).

Resposta

\Re\!\left(z_{1}\overline{z_{2}}\right)=\lvert z_{1}\rvert\lvert z_{2}\rvert\iff \arg(z_{1})=\arg(z_{2})\pm 2n\pi,\; n=0,1,2,\ldots

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