Seja
, usando a forma polar com argumentos medidos em radianos, mostre que
se, e somente se,
.
Passo 1
O que o enunciado dá e pede:
- Dados:
e são números complexos com . Portanto e . - Pedido: mostrar que
se, e somente se,
Ou seja, provar a equivalência (bi-implicação) entre a igualdade das partes reais do produto e a igualdade dos argumentos módulo
.
Passo 2
Lembrando a forma polar e propriedades úteis (mini-aula):
- Qualquer número complexo não nulo pode ser escrito em forma polar como
onde
e
(argumento medido em radianos, definido módulo
).
- A conjugada de
é
- Produto em forma exponencial: multiplicam-se os módulos e somam-se os argumentos. Em particular,
- A parte real de um número complexo em forma exponencial obedece
para
e
. (Isto vem da identidade
.)
Passo 3
Aplicando as fórmulas ao nosso produto:
Tomando a parte real,
A condição dada no enunciado é
ou seja, usando
,
Passo 4
Como
(porque
), podemos dividir ambos os lados por
e obter
Agora um fato trigonométrico básico:
exatamente quando
Portanto
Isso prova a direção direta: se
então
.
Passo 5
Provar a direção recíproca (o “somente se” completo): se
então
e, como
, voltando à expressão do Passo 3 temos
Assim a equivalência completa está demonstrada. Observação: escrever
é equivalente a
com
inteiro (o sinal ± só reforça que são iguais módulo
).