Exercício 4. (Apostol, capítulo 8.5, exercício 4 e 7)
Mostre que se
é um intervalo aberto de
e
é um intervalo fechado contido em
, então
é um aberto.
Mostre que se
Passo 1
O enunciado trata de topologia em
. Diz que
é um intervalo aberto e
é um intervalo fechado com
. Queremos mostrar que a diferença de conjuntos
é aberta. Para isso vamos usar que todo intervalo aberto em
tem a forma
, todo intervalo fechado tem a forma
, e que união de abertos é aberta.
Passo 2
Como
é um intervalo aberto, existem números
tais que
Como
é um intervalo fechado contido em
, existem
com
tais que
Passo 3
Calculemos a diferença
Um ponto
está em
se e somente se
e ao mesmo tempo
. Logo
ou
.
Passo 4
Portanto
Cada um dos intervalos
e
é aberto em
, e a união de dois conjuntos abertos é aberta.