Exercício 4. (Apostol, capítulo 8.5, exercício 4 e 7)
Mostre que se A é um intervalo aberto de R e B é um intervalo fechado contido em A, então A backslash B é um aberto.

Passo 1

O enunciado trata de topologia em R. Diz que A é um intervalo aberto e B é um intervalo fechado com Bsubset A. Queremos mostrar que a diferença de conjuntos Abackslash B é aberta. Para isso vamos usar que todo intervalo aberto em R tem a forma (a,b), todo intervalo fechado tem a forma [c,d], e que união de abertos é aberta.

Passo 2

Como A é um intervalo aberto, existem números a<b tais que
A=(a,b)
Como B é um intervalo fechado contido em A, existem c,d com a<c<= d<b tais que
B=[c,d]

Passo 3

Calculemos a diferença
Abackslash B ;=;(a,b),backslash,[c,d]
Um ponto x está em (a,b)backslash[c,d] se e somente se a<x<b e ao mesmo tempo xnotin[c,d]. Logo xin(a,c) ou xin(d,b).

Passo 4

Portanto
Abackslash B ;=;(a,c);cup;(d,b)
Cada um dos intervalos (a,c) e (d,b) é aberto em R, e a união de dois conjuntos abertos é aberta.

Resposta

Abackslash B é aberto.

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