Exercício 3. (Apostol, capítulo 8.5, exercício 9)
Mostre que se S é um subconjunto de R^n, então int (S) cup partial S cup int(S^c) e que estes conjuntos possuem interseção vazia entre si. Conclua que partial S é um conjunto fechado.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dado um subconjunto SsubsetR^n, vale
R^n ;=;int(S);cup;partial S;cup;int(S^c),
que essas três partes são duas a duas disjuntas, e a partir daí concluir que partial S é fechado.
Conteúdo envolvido: definições de interior, fronteira e complemento, e propriedades de abertos e fechados.

Passo 2

Provar que todo xinR^n pertence a uma das três partes.
  • Se xinint(S), já caiu no primeiro termo.
  • Senão, se xinint(S^c), cai no terceiro termo.
  • Caso xnotinint(S) e xnotinint(S^c), então toda bola centrada em x não está inteiramente em S (pois xnotinint(S)) e nem está inteiramente em S^c (pois xnotinint(S^c)). Logo, cada vizinhança de x intersecta tanto S quanto S^c, exatamente a definição de xinpartial S.
    Portanto R^n=int(S)cuppartial Scupint(S^c).

Passo 3

Mostrar que as três partes são disjuntas:
  • Se xinint(S), existe bola Bsubset S, então Bcap S^c=emptyset, o que impede xinpartial S e xinint(S^c).
  • Se xinint(S^c), analogamente não pode pertencer a partial S nem a int(S).
  • Se xinpartial S, toda bola em x atinge simultaneamente S e S^c, logo não há bola contida em S nem em S^c: x não pode estar em int(S) nem em int(S^c).
    Assim as interseções de quaisquer dois desses conjuntos são vazias.

Passo 4

Da igualdade
partial S ;=;R^n;setminus;l(int(S)cupint(S^c)r),
e como int(S) e int(S^c) são abertos, sua união é aberta. O complementar de um aberto em R^n é fechado, logo partial S é fechado.

Resposta

  1. R^n=int(S)cuppartial Scupint(S^c).
  2. Esses três conjuntos são disjuntos dois a dois.
  3. Consequentemente, partial S é um conjunto fechado.

Exercícios relacionados