Exercício 3. (Apostol, capítulo 8.5, exercício 9)
Mostre que se
é um subconjunto de
, então int
e que estes conjuntos possuem interseção vazia entre si. Conclua que
é um conjunto fechado.
Mostre que se
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dado um subconjunto
, vale
que essas três partes são duas a duas disjuntas, e a partir daí concluir que
é fechado.
Conteúdo envolvido: definições de interior, fronteira e complemento, e propriedades de abertos e fechados.
Conteúdo envolvido: definições de interior, fronteira e complemento, e propriedades de abertos e fechados.
Passo 2
Provar que todo
pertence a uma das três partes.
- Se
, já caiu no primeiro termo. - Senão, se
, cai no terceiro termo. - Caso
e , então toda bola centrada em não está inteiramente em (pois ) e nem está inteiramente em (pois ). Logo, cada vizinhança de intersecta tanto quanto , exatamente a definição de .
Portanto.
Passo 3
Mostrar que as três partes são disjuntas:
- Se
, existe bola , então , o que impede e . - Se
, analogamente não pode pertencer a nem a . - Se
, toda bola em atinge simultaneamente e , logo não há bola contida em nem em : não pode estar em nem em .
Assim as interseções de quaisquer dois desses conjuntos são vazias.
Passo 4
Da igualdade
e como
e
são abertos, sua união é aberta. O complementar de um aberto em
é fechado, logo
é fechado.
Resposta
-
. - Esses três conjuntos são disjuntos dois a dois.
- Consequentemente,
é um conjunto fechado.