Exercício 2. (Apostol, capítulo 9.3, exercícios 3 e 4)
a) Se u(x, y)=f(x y), com f de classe C^1, então mostre que u resolve a equação
x partial upartial x(x, y)-y partial upartial y(x, y)=0
Ache uma solução quando u(x, x)=x^4 e^x^2, para todo x.
b) Se v(x, y)=f(xy), y neq 0, com f de classe C^1, então mostre que u resolve a equação
x partial vpartial x(x, y)+y partial vpartial y(x, y)=0
Ache uma solução quando v(1,1)=2 e partial vpartial x(x, 1x)=1x, para todo x neq 0.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que funções da forma u(x,y)=f(xy) e v(x,y)=f(x/y) resolvem, respectivamente,
x ux - y uy = 0
e
x vx + y vy = 0
Em seguida, encontrar as soluções que satisfazem as condições dadas.

Passo 2

Para u(x,y)=f(xy), calculemos as derivadas parciais. Primeiro,
ux = f'(xy),y
e
uy = f'(xy),x
Substituindo na equação
x ux - y uy = x(yf'(xy)) - y(xf'(xy)) = 0
.

Passo 3

A condição u(x,x)=x^4 e^x^2 implica
f(x^2)=x^4 e^x^2
. Com t=x^2 segue
f(t)=t^2 e^t
e portanto
u(x,y)=(xy)^2 e^xy
.

Passo 4

Para v(x,y)=f(x/y), definamos t=x/y e calculemos
vx = f'(t),1y
vy = f'(t),l(-tfracxy^2r)
Substituindo na equação
x vx + y vy = xf'(t)y - yx f'(t)y^2 = 0
.

Passo 5

Das condições v(1,1)=2 e vx(x,tfrac1x)=tfrac1x obtemos
f(1)=2
e, avaliando vx em y=tfrac1x,
x f'(x^2)=1x
. Chamando t=x^2 isso dá
f'(t)=1t
, logo
f(t)=ln t + C
. De f(1)=2 segue C=2 e assim
v(x,y)=ln!l(tfrac xyr)+2
.

Resposta

a) u(x,y)=(xy)^2 e^xy
b) v(x,y)=ln!l(tfrac xyr)+2

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