Exercício 2. (Apostol, capítulo 9.3, exercícios 3 e 4)
a) Se
, com
de classe
, então mostre que
resolve a equação
Ache uma solução quando
, para todo
.
b) Se
de classe
, então mostre que
resolve a equação
Ache uma solução quando
e
, para todo
.
a) Se
b) Se
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que funções da forma
e
resolvem, respectivamente,
e
Em seguida, encontrar as soluções que satisfazem as condições dadas.
Passo 2
Para
, calculemos as derivadas parciais. Primeiro,
e
Substituindo na equação
.
Passo 3
A condição
implica
. Com
segue
e portanto
.
Passo 4
Para
, definamos
e calculemos
Substituindo na equação
.
Passo 5
Das condições
e
obtemos
e, avaliando
em
,
. Chamando
isso dá
, logo
. De
segue
e assim
.
Resposta
a)
b)
b)