1. Um triângulo tem vértices em (-2,0),(3,0) e(x, y), onde (x, y) é um ponto da parábola y=-14 x^2+4 e y >= 0. Determine o ponto (x, y) para o qual a área desse triângulo seja máxima.

Passo 1

O enunciado dá um triângulo cujos vértices são A=(-2,0), B=(3,0) e C=(x,y), sendo C um ponto da parábola
y=-tfrac14x^2+4, y>=0
Queremos escolher C de modo que a área do triângulo seja máxima. O conteúdo usado será cálculo de máxima de função de uma variável, aliando fórmula da área de triângulo e otimização.

Passo 2

A base AB está sobre o eixo x e tem comprimento
|AB|=3-(-2)=5
A altura relativa a essa base é a distância do ponto C à reta y=0, ou seja a<ura=y. Logo a área vale
A=tfrac12cdot|AB|cdota<ura=tfrac12cdot5cdot y=tfrac52,y
Como y=-tfrac14x^2+4, substituímos para obter
A(x)=tfrac52l(-tfrac14x^2+4r) =-tfrac58x^2+10

Passo 3

O domínio válido é dado por y>=0, ou seja
-tfrac14x^2+4>=0Longrightarrow x^2<=16Longrightarrow xin[-4,4]
A função A(x)=-tfrac58x^2+10 é uma parábola côncava para baixo, cujo máximo ocorre no vértice. Como não há termo linear, o vértice está em
x0=-02cdot(-5/8)=0,
que está dentro de [-4,4].

Passo 4

Para x0=0, o valor de y na parábola é
y0=-tfrac14cdot0^2+4=4
Logo o ponto que maximiza a área do triângulo é (0,4).

Resposta

(0,4)

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