Exercício 2. (Apostol seção 3.17 exercício 4) Seja
. Prove as seguintes propriedades da matriz
dos cofatores de
:
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para toda matriz
, vale
Aqui
é a matriz cujos elementos são os cofatores
, onde
é a submatriz de
obtida ao excluir a linha
e a coluna
. Para provar a igualdade de matrizes, basta mostrar que
Passo 2
Recordamos duas coisas fundamentais:
- A definição de cofactor
onde
é a matriz
sem a linha
e a coluna
.
2. A propriedade da transposta no determinante
2. A propriedade da transposta no determinante
Passo 3
Fixemos índices
. Considere a submatriz de
obtida ao eliminar a linha
e a coluna
; vamos chamá-la de
. Note que, se em
eliminamos a linha
e a coluna
, obtemos uma matriz
cuja transposta é exatamente
. Em símbolos:
Passo 4
Agora calculamos o cofactor correspondente em
:
Pela propriedade do determinante da transposta segue
Portanto, para todo
que é exatamente a condição de que
.