Exercício 2. (Apostol seção 3.17 exercício 4) Seja A in Mn(R), n >= 2. Prove as seguintes propriedades da matriz cof(A) dos cofatores de A :
cof(A^T)=cof(A)^T.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para toda matriz Ain Mn(R), vale
cofl(A^Tr)=l(cof(A)r)^T
Aqui cof(A) é a matriz cujos elementos são os cofatores Cij(A)=(-1)^i+jdet(Aij), onde Aij é a submatriz de A obtida ao excluir a linha i e a coluna j. Para provar a igualdade de matrizes, basta mostrar que
l[cof(A^T)r]ij = l[cof(A)r]ji para todo i,j

Passo 2

Recordamos duas coisas fundamentais:
  1. A definição de cofactor
Cij(B)=(-1)^i+jdet(Bij),
onde Bij é a matriz B sem a linha i e a coluna j.
2. A propriedade da transposta no determinante
detl(M^Tr)=det(M) para qualquer matriz M

Passo 3

Fixemos índices i,j. Considere a submatriz de A^T obtida ao eliminar a linha i e a coluna j; vamos chamá-la de (A^T)ij. Note que, se em A eliminamos a linha j e a coluna i, obtemos uma matriz A,j i cuja transposta é exatamente (A^T)ij. Em símbolos:
(A^T)ij=l(A,jir)^T

Passo 4

Agora calculamos o cofactor correspondente em A^T:
l[cof(A^T)r]ij = (-1)^i+jdetl((A^T)ijr) = (-1)^i+jdetl((A,ji)^Tr)
Pela propriedade do determinante da transposta segue
(-1)^i+jdetl((A,ji)^Tr) = (-1)^i+jdetl(A,jir) = Cji(A) = l[cof(A)r]ji
Portanto, para todo i,j
l[cof(A^T)r]ij =l[cof(A)r]ji,
que é exatamente a condição de que
cof(A^T)=l(cof(A)r)^T.

Resposta

cof(A^T)=l(cof(A)r)^T

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