1. Seja f(x)=la+b x, se x>2, 3, se x=2, b-a x^2 se x<2. Determine os valores de a e b tais que f(x) seja contínua em x=2.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)= a + b,x, & x>2, 3, & x=2, b - a,x^2, & x<2
e pede para que f seja contínua em x=2.
Conteúdo usado: continuidade em ponto exige
limxto2^-f(x)=f(2)=limxto2^+f(x)

Passo 2

Calcular o limite pela direita ( xto2^+). Como para x>2 vale f(x)=a+b,x, temos
limxto2^+f(x)=a + bcdot2 = a + 2b
Para continuidade impomos
a + 2b = 3

Passo 3

Calcular o limite pela esquerda ( xto2^-). Como para x<2 vale f(x)=b - a,x^2, temos
limxto2^-f(x)=b - acdot2^2=b - 4a
Para continuidade impomos
b - 4a = 3

Passo 4

Resolvendo o sistema
a + 2b = 3, -4a + b = 3,
da segunda equação isolamos b = 3 + 4a e substituímos na primeira:
a + 2(3+4a)=3 Longrightarrow 9a + 6 = 3 Longrightarrow a = -tfrac13
Então
b = 3 + 4l(-tfrac13r)=tfrac53

Resposta

a = -tfrac13 e b = tfrac53

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