Exercício 1. Assinale a alternativa correta. Considere
uma função contínua. A igualdade das duas integrais iteradas
é
verdadeira ou falsa.
Justifique detalhadamente a sua resposta.
verdadeira ou falsa.
Justifique detalhadamente a sua resposta.
Passo 1
O enunciado dá uma função contínua
e pergunta se a igualdade abaixo é verdadeira ou falsa:
Informações relevantes que o enunciado fornece:
-
é contínua (em particular é integrável). - As duas integrais iteradas dadas são sobre os limites escritos: na primeira
varia de a e depois de a ; na segunda varia de a e depois de a . - A pergunta é decidir se a igualdade vale (para qualquer
contínua) e justificar detalhadamente.
Passo 2
Interpretação geométrica das integrais iteradas (o passo didático).
- A integral
corresponde à integral dupla de
sobre a região
Isto é porque, para cada
fixo entre
e
, somamos
de
até
.
- A integral
corresponde à integral dupla de
sobre a região
Isto é porque, para cada
fixo entre
e
, somamos
de
até
.
Passo 3
Comparação das regiões
e
(lição geométrica).
- Ambas as regiões estão contidas no quadrado
. -
é o triângulo acima (ou na parte ) e é o triângulo complementar abaixo da reta (ou na parte ). Mais precisamente,
- Essas duas regiões são diferentes (só se tocam na diagonal
, que tem medida de área zero). Portanto, integrar sobre pode dar um valor diferente de integrar sobre , salvo situações especiais sobre .
Passo 4
Argumento lógico: por que a igualdade não precisa ser verdadeira em geral.
- Como
é contínua, pelas propriedades de integrais múltiplas podemos interpretar cada iterada como integral dupla sobre a respectiva região:
- Como
, não é verdade, em geral, que para toda função contínua . Logo a igualdade dada no enunciado é, em geral, falsa. - Para fixar a intuição: a igualdade só ocorreria para todas as
contínuas em caso impossível (a menos de condições estritas sobre ). Porém, se tiver alguma simetria, por exemplo para todo , então trocar transforma em e as duas integrais ficam iguais. Mas isso é uma hipótese extra sobre , não dada no enunciado.
Passo 5
Contraexemplo explícito (cálculo passo a passo) para mostrar a falsidade.
Escolher uma função contínua simples que quebra a igualdade; por exemplo
Escolher uma função contínua simples que quebra a igualdade; por exemplo
que é contínua em todo o plano. Agora calculamos as duas integrais.
Cálculo da integral da esquerda:
Primeiro a integral interna em
:
Agora a integral externa em
:
Cálculo da integral da direita:
Primeiro a integral interna em
:
Agora a integral externa em
:
Comparando os resultados obtidos:
Como
, a igualdade falha para esta
. Isso prova que a igualdade dada no enunciado é falsa em geral.
Passo 6
Resumo didático e conclusão final (motivação para a prova).
- Em provas: ao ver duas integrais iteradas com limites diferentes, sempre desenhe a região no plano
. Se as regiões forem diferentes, não espere igualdade a menos que haja informação extra sobre (por exemplo simetria ou outra propriedade que force a compensação). - Aqui, as duas integrais são integrais sobre triângulos distintos; para funções gerais elas são diferentes, e o contraexemplo
mostra isso de forma direta.
Resposta
Falsa.