Exercício 1. Assinale a alternativa correta. Considere f=f(x, y) uma função contínua. A igualdade das duas integrais iteradas
\int_{0}^{2} \int_{0}^{x} f(x, y) \mathrm{d} y \mathrm{~d} x=\int_{0}^{2} \int_{0}^{y} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y
é
verdadeira ou falsa.
Justifique detalhadamente a sua resposta.

Passo 1

O enunciado dá uma função contínua f=f(x,y) e pergunta se a igualdade abaixo é verdadeira ou falsa:
\int_{0}^{2}\int_{0}^{x} f(x,y)\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x = \int_{0}^{2}\int_{0}^{y} f(x,y)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y.
Informações relevantes que o enunciado fornece:
  • f é contínua (em particular é integrável).
  • As duas integrais iteradas dadas são sobre os limites escritos: na primeira y varia de 0 a x e depois x de 0 a 2; na segunda x varia de 0 a y e depois y de 0 a 2.
  • A pergunta é decidir se a igualdade vale (para qualquer f contínua) e justificar detalhadamente.

Passo 2

Interpretação geométrica das integrais iteradas (o passo didático).
  • A integral
\int_{0}^{2}\int_{0}^{x} f(x,y)\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x
corresponde à integral dupla de f sobre a região
D_1=\{(x,y)\mid 0\le x\le 2,\\\ 0\le y\le x\}.
Isto é porque, para cada x fixo entre 0 e 2, somamos y de 0 até y=x.
  • A integral
\int_{0}^{2}\int_{0}^{y} f(x,y)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y
corresponde à integral dupla de f sobre a região
D_2=\{(x,y)\mid 0\le y\le 2,\\\ 0\le x\le y\}.
Isto é porque, para cada y fixo entre 0 e 2, somamos x de 0 até x=y.

Passo 3

Comparação das regiões D_1 e D_2 (lição geométrica).
  • Ambas as regiões estão contidas no quadrado [0,2]\times[0,2].
  • D_1 é o triângulo acima (ou na parte x\ge y) e D_2 é o triângulo complementar abaixo da reta y=x (ou na parte y\ge x). Mais precisamente,
D_1=\{(x,y)\in[0,2]^2\mid y\le x\},\qquad D_2=\{(x,y)\in[0,2]^2\mid x\le y\}.
  • Essas duas regiões são diferentes (só se tocam na diagonal y=x, que tem medida de área zero). Portanto, integrar f sobre D_1 pode dar um valor diferente de integrar f sobre D_2, salvo situações especiais sobre f.

Passo 4

Argumento lógico: por que a igualdade não precisa ser verdadeira em geral.
  • Como f é contínua, pelas propriedades de integrais múltiplas podemos interpretar cada iterada como integral dupla sobre a respectiva região:
\int_{0}^{2}\int_{0}^{x} f(x,y)\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x = \iint_{D_1} f(x,y)\,\mathrm{d}A,
\int_{0}^{2}\int_{0}^{y} f(x,y)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y = \iint_{D_2} f(x,y)\,\mathrm{d}A.
  • Como D_1\neq D_2, não é verdade, em geral, que \iint_{D_1} f=\iint_{D_2} f para toda função contínua f. Logo a igualdade dada no enunciado é, em geral, falsa.
  • Para fixar a intuição: a igualdade só ocorreria para todas as f contínuas em caso impossível (a menos de condições estritas sobre f). Porém, se f tiver alguma simetria, por exemplo f(x,y)=f(y,x) para todo (x,y), então trocar x\leftrightarrow y transforma D_1 em D_2 e as duas integrais ficam iguais. Mas isso é uma hipótese extra sobre f, não dada no enunciado.

Passo 5

Contraexemplo explícito (cálculo passo a passo) para mostrar a falsidade.
Escolher uma função contínua simples que quebra a igualdade; por exemplo
f(x,y)=x-y,
que é contínua em todo o plano. Agora calculamos as duas integrais.
Cálculo da integral da esquerda:
\int_{0}^{2}\int_{0}^{x} (x-y)\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x.
Primeiro a integral interna em y:
\int_{0}^{x} (x-y)\,\mathrm{d}y = \left[xy-\frac{y^{2}}{2}\right]_{y=0}^{y=x} = x\cdot x - \frac{x^{2}}{2} - \big(0-0\big) = \frac{x^{2}}{2}.
Agora a integral externa em x:
\int_{0}^{2} \frac{x^{2}}{2}\,\mathrm{d}x = \frac{1}{2}\left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{2} = \frac{1}{2}\cdot\frac{8}{3} = \frac{4}{3}.
Cálculo da integral da direita:
\int_{0}^{2}\int_{0}^{y} (x-y)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y.
Primeiro a integral interna em x:
\int_{0}^{y} (x-y)\,\mathrm{d}x = \left[\frac{x^{2}}{2}-yx\right]_{x=0}^{x=y} = \left(\frac{y^{2}}{2}-y^{2}\right)-0 = -\frac{y^{2}}{2}.
Agora a integral externa em y:
\int_{0}^{2} -\frac{y^{2}}{2}\,\mathrm{d}y = -\frac{1}{2}\left[\frac{y^{3}}{3}\right]_{0}^{2} = -\frac{1}{2}\cdot\frac{8}{3} = -\frac{4}{3}.
Comparando os resultados obtidos:
\int_{0}^{2}\int_{0}^{x} (x-y)\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x = \frac{4}{3}, \qquad \int_{0}^{2}\int_{0}^{y} (x-y)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y = -\frac{4}{3}.
Como \frac{4}{3}\neq -\frac{4}{3}, a igualdade falha para esta f. Isso prova que a igualdade dada no enunciado é falsa em geral.

Passo 6

Resumo didático e conclusão final (motivação para a prova).
  • Em provas: ao ver duas integrais iteradas com limites diferentes, sempre desenhe a região no plano (x,y). Se as regiões forem diferentes, não espere igualdade a menos que haja informação extra sobre f (por exemplo simetria f(x,y)=f(y,x) ou outra propriedade que force a compensação).
  • Aqui, as duas integrais são integrais sobre triângulos distintos; para funções gerais elas são diferentes, e o contraexemplo f(x,y)=x-y mostra isso de forma direta.

Resposta

Falsa.

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