Exercício 1. Avaliar as seguintes integrais:
\iiint_{T} 2 y e^{x} d V, onde T=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid 0 \leq y \leq 1,0 \leq x \leq y, 0 \leq\right.\\ z \leq x+y\}.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • Região T do espaço definida por:
    • 0 \leq y \leq 1,
    • 0 \leq x \leq y,
    • 0 \leq z \leq x+y.
  • Integral triplas a avaliar: \iiint_{T} 2y e^{x}\,dV.
O enunciado pede o valor numérico desta integral sobre a região T.

Passo 2

Escolher uma ordem conveniente de integração. As desigualdades que definem T já estão organizadas na forma z-em função de x,y, x-em função de y e y fixo, portanto é natural calcular a integral iterada na ordem dz\,dx\,dy. Escrevo a integral como integral iterada:
\iiint_{T} 2y e^{x}\,dV = \int_{y=0}^{1}\int_{x=0}^{y}\int_{z=0}^{x+y} 2y e^{x}\,dz\,dx\,dy.

Passo 3

Integrar primeiro em z. Note que a integranda 2y e^{x} não depende de z, então a integral em z simplesmente multiplica pela largura x+y:
\int_{z=0}^{x+y} 2y e^{x}\,dz = 2y e^{x}\,(x+y).
Assim a integral reduz-se a
\int_{0}^{1}\int_{0}^{y} 2y e^{x}(x+y)\,dx\,dy.

Passo 4

Expandir e separar a integral em x. Escrevo x+y como soma e distribuo:
2y e^{x}(x+y) = 2y e^{x} x + 2y^2 e^{x}.
Logo
\int_{0}^{y} 2y e^{x}(x+y)\,dx = 2y\int_{0}^{y} x e^{x}\,dx + 2y^{2}\int_{0}^{y} e^{x}\,dx.
Vou calcular cada uma dessas integrais em x.

Passo 5

Calcular \displaystyle \int_{0}^{y} x e^{x}\,dx usando integração por partes. Recordando a fórmula de integração por partes:
\int u\,dv = uv - \int v\,du,
escolho u=x (então du=dx) e dv=e^{x}dx (então v=e^{x}). Assim
\int x e^{x}\,dx = x e^{x} - \int e^{x}\,dx = x e^{x} - e^{x} + C = e^{x}(x-1)+C.
Avalio de 0 a y:
\int_{0}^{y} x e^{x}\,dx = e^{y}(y-1) - e^{0}(0-1) = e^{y}(y-1) + 1.

Passo 6

Calcular \displaystyle \int_{0}^{y} e^{x}\,dx é imediato:
\int_{0}^{y} e^{x}\,dx = e^{y}-e^{0} = e^{y}-1.
Agora volto à expressão do Passo 4:
\int_{0}^{y} 2y e^{x}(x+y)\,dx = 2y\bigl(e^{y}(y-1)+1\bigr) + 2y^{2}\bigl(e^{y}-1\bigr).
Fazendo a distributiva:
= 2y e^{y}(y-1) + 2y + 2y^{2} e^{y} - 2y^{2}.
Agrupando os termos com e^{y} e os termos polinomiais:
= 2y(2y-1)e^{y} + 2y(1-y).
Portanto a integral completa fica
\int_{0}^{1}\bigl(2y(2y-1)e^{y} + 2y(1-y)\bigr)\,dy.

Passo 7

Separar em duas integrais mais simples:
I = \int_{0}^{1} 2y(2y-1)e^{y}\,dy + \int_{0}^{1} 2y(1-y)\,dy.
Calculo a segunda integral (polinomial) primeiro:
\int_{0}^{1} 2y(1-y)\,dy = \int_{0}^{1} (2y-2y^{2})\,dy = \left[y^{2}-\tfrac{2}{3}y^{3}\right]_{0}^{1} = 1 - \tfrac{2}{3} = \tfrac{1}{3}.

Passo 8

Para a primeira integral, expandir o polinômio multiplicador:
\int_{0}^{1} 2y(2y-1)e^{y}\,dy = \int_{0}^{1} (4y^{2}-2y)e^{y}\,dy.
Vou usar duas integrais auxiliares:
A=\int_{0}^{1} y e^{y}\,dy,\qquad B=\int_{0}^{1} y^{2} e^{y}\,dy.
Então a integral será 4B - 2A. Calculo A e B separadamente.

Passo 9

Calcular A. Usando a primitiva encontrada antes para x e^{x}, com x genérico:
\int y e^{y}\,dy = e^{y}(y-1)+C.
Logo
A = \left[e^{y}(y-1)\right]_{0}^{1} = e(1-1) - 1(0-1) = 0 - (-1) = 1.

Passo 10

Calcular B. Faço integração por partes com u=y^{2} e dv=e^{y}dy. Assim du=2y\,dy, v=e^{y}, e
\int y^{2} e^{y}\,dy = y^{2}e^{y} - \int 2y e^{y}\,dy.
Já conhecemos \int y e^{y}\,dy = e^{y}(y-1), então
\int y^{2} e^{y}\,dy = y^{2}e^{y} - 2e^{y}(y-1) + C = e^{y}(y^{2}-2y+2)+C.
Avalio de 0 a 1:
B = \left[e^{y}(y^{2}-2y+2)\right]_{0}^{1} = e(1-2+2) - 1(0-0+2) = e - 2.

Passo 11

Volto à primeira parcela: 4B - 2A = 4(e-2) - 2(1) = 4e - 8 -2 = 4e -10.
Somando com a segunda parcela encontrada no Passo 7 (que valia \tfrac{1}{3}):
I = (4e - 10) + \tfrac{1}{3} = 4e - \tfrac{29}{3}.

Resposta

4e - \dfrac{29}{3}

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