Exercício 1. Avaliar as seguintes integrais:
, onde
.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
- Região
do espaço definida por: -
, -
, -
.
-
- Integral triplas a avaliar:
O enunciado pede o valor numérico desta integral sobre a região
.
Passo 2
Escolher uma ordem conveniente de integração. As desigualdades que definem
já estão organizadas na forma
-em função de
,
-em função de
e
fixo, portanto é natural calcular a integral iterada na ordem
. Escrevo a integral como integral iterada:
Passo 3
Integrar primeiro em
. Note que a integranda
não depende de
, então a integral em
simplesmente multiplica pela largura
:
Assim a integral reduz-se a
Passo 4
Expandir e separar a integral em
. Escrevo
como soma e distribuo:
Logo
Vou calcular cada uma dessas integrais em
.
Passo 5
Calcular
usando integração por partes. Recordando a fórmula de integração por partes:
escolho
(então
) e
(então
). Assim
Avalio de
a
:
Passo 6
Calcular
é imediato:
Agora volto à expressão do Passo 4:
Fazendo a distributiva:
Agrupando os termos com
e os termos polinomiais:
Portanto a integral completa fica
Passo 7
Separar em duas integrais mais simples:
Calculo a segunda integral (polinomial) primeiro:
Passo 8
Para a primeira integral, expandir o polinômio multiplicador:
Vou usar duas integrais auxiliares:
Então a integral será
. Calculo
e
separadamente.
Passo 9
Calcular
. Usando a primitiva encontrada antes para
, com
genérico:
Logo
Passo 10
Calcular
. Faço integração por partes com
e
. Assim
,
, e
Já conhecemos
, então
Avalio de
a
:
Passo 11
Volto à primeira parcela:
.
Somando com a segunda parcela encontrada no Passo 7 (que valia
):