Exercício 1.3 Avalie cada uma das seguintes integrais sobre a região D.
, onde
é a região limitada por
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla que é
, onde a região
é delimitada pelas curvas
e
. Aqui, vamos precisar usar integrais duplas e entender como determinar os limites de integração com base nas curvas que delimitam a região.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor a região
. Temos duas equações:
e
. Para saber onde elas se cruzam, vamos igualar as duas:
Passo 3
Vamos resolver essa equação para encontrar os pontos de interseção. Primeiro, elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Então, temos:
Isso nos dá as soluções
e
.
Passo 4
Agora, sabemos que as curvas se intersectam nos pontos
e
. Vamos esboçar graficamente para entender qual curva está por cima da outra entre esses pontos. Para
:
-
é sempre maior que , porque, por exemplo, em , e .
Passo 5
Com isso, podemos definir os limites de integração. Vamos integrar de
a
, e para cada
,
vai de
até
. Assim, nossa integral dupla fica:
Passo 6
Vamos começar integrando em relação a
. Primeiro, integramos
e depois
:
Simplificando:
Passo 7
Agora, aplicamos os limites de
até
:
Simplificando cada termo:
Passo 8
Agora, vamos integrar essa expressão em relação a
de 0 a 1:
Integrando termo a termo:
Passo 9
Aplicando os limites de 0 a 1:
Passo 10
Vamos calcular os valores numéricos:
Somando:
Resposta
O valor da integral dupla sobre a região
é aproximadamente
.