Exercício 1.3 Avalie cada uma das seguintes integrais sobre a região D.
integral duplaD 4 x y-y^3 d A, onde D é a região limitada por y=raizx e y=x^3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla que é integral duplaD (4xy - y^3) , dA, onde a região D é delimitada pelas curvas y = raizx e y = x^3. Aqui, vamos precisar usar integrais duplas e entender como determinar os limites de integração com base nas curvas que delimitam a região.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a região D. Temos duas equações: y = raizx e y = x^3. Para saber onde elas se cruzam, vamos igualar as duas:
raizx = x^3

Passo 3

Vamos resolver essa equação para encontrar os pontos de interseção. Primeiro, elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
(raizx)^2 = (x^3)^2 implies x = x^6
Então, temos:
x^6 - x = 0 implies x(x^5 - 1) = 0
Isso nos dá as soluções x = 0 e x = 1.

Passo 4

Agora, sabemos que as curvas se intersectam nos pontos x = 0 e x = 1. Vamos esboçar graficamente para entender qual curva está por cima da outra entre esses pontos. Para 0 <= x <= 1:
  • y = raizx é sempre maior que y = x^3, porque, por exemplo, em x = 0.5, raiz0.5 approx 0.707 e (0.5)^3 = 0.125.

Passo 5

Com isso, podemos definir os limites de integração. Vamos integrar de x = 0 a x = 1, e para cada x, y vai de y = x^3 até y = raizx. Assim, nossa integral dupla fica:
integral0^1 integralx^3^raizx (4xy - y^3) , dy , dx

Passo 6

Vamos começar integrando em relação a y. Primeiro, integramos 4xy e depois -y^3:
integral (4xy - y^3) , dy = 4x integral y , dy - integral y^3 , dy = 4x ( y^22 ) - ( y^44 ) + C
Simplificando:
= 2x y^2 - y^44

Passo 7

Agora, aplicamos os limites de y = x^3 até y = raizx:
2x (raizx)^2 - (raizx)^44 - [ 2x (x^3)^2 - (x^3)^44 ]
Simplificando cada termo:
= 2x (x) - x^24 - [ 2x (x^6) - x^124 ]
= 2x^2 - x^24 - 2x^7 + x^124
= 7x^24 - 2x^7 + x^124

Passo 8

Agora, vamos integrar essa expressão em relação a x de 0 a 1:
integral0^1 ( 7x^24 - 2x^7 + x^124 ) dx
Integrando termo a termo:
74 integral x^2 , dx - 2 integral x^7 , dx + 14 integral x^12 , dx
= 74 ( x^33 ) - 2 ( x^88 ) + 14 ( x^1313 ) + C
= 7x^312 - x^84 + x^1352

Passo 9

Aplicando os limites de 0 a 1:
( 7(1)^312 - (1)^84 + (1)^1352 ) - ( 7(0)^312 - (0)^84 + (0)^1352 )
= 712 - 14 + 152

Passo 10

Vamos calcular os valores numéricos:
712 = 0,5833
14 = 0,25
152 approx 0,0192
Somando:
0,5833 - 0,25 + 0,0192 = 0,3525

Resposta

O valor da integral dupla sobre a região D é aproximadamente 0,3525.

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