Exercício 6

Avalie a convergência da série sumn=1^infty -e^-nn.

Passo 1

O enunciado pede para avaliar a convergência da série sumn=1^infty-e^-nn. O conteúdo é séries numéricas e vamos precisar aplicar definição de convergência absoluta e o teste da razão de d’Alembert.

Passo 2

Para ver se ela converge absolutamente, consideramos a série das magnitudes: sumn=1^inftyl|anr|=sumn=1^inftye^-nn. Se essa convergir, a original converge absolutamente.

Passo 3

Aplicamos o teste da razão em an=e^-n/n. Calculamos
L=limntoinftyan+1an=limntoinftye^-(n+1)/(n+1)e^-n/n=e^-1cdotlimntoinftynn+1=e^-1<1
Como L<1, a série sum e^-n/n converge.

Passo 4

Logo, a série original converge absolutamente (pois sum|an| converge) e, portanto, converge.

Resposta

A série converge absolutamente e, consequentemente, converge.

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