Exercício 1. Um avião de bombardeio sobrevoa os trilhos de uma ferrovia. Suponha que se uma bomba cair de uma distância menor ou igual a 40 pés dos trilhos então os trilhos ficarão danificados de modo a impedir a passagem do trem. Seja X a distância perpendicular entre os trilhos e o local que caiu a bomba. Assuma que:
f_{X}(x)=\frac{100-x}{5000} I_{[0,100](x)}
(a) Encontre a probabilidade de que uma bomba impeça a passagem do trem. (b) Se um avião carrega 3 bombas e o piloto lança as 3 bombas independentemente, qual a probabilidade de que o trem não passe.

Passo 1

O enunciado descreve uma variável contínua X que mede a distância perpendicular (em pés) entre o ponto de queda da bomba e os trilhos, com densidade
f_X(x)=\frac{100-x}{5000}\,I_{[0,100]}(x).
Precisamos de duas coisas:
  1. A probabilidade de uma bomba cair a até 40 pés dos trilhos, isto é \Pr(X\le40), usando integração de pdf.
  2. Supondo 3 bombas lançadas independentemente, achar a probabilidade de pelo menos uma danificar os trilhos (trem não passa).

Passo 2

Calcular
\Pr(X\le40)=\int_{0}^{40}f_X(x)\,dx =\int_{0}^{40}\frac{100-x}{5000}\,dx.
Fazendo a integral:
\int_{0}^{40}(100-x)\,dx =\bigl[100x-\tfrac{x^2}{2}\bigr]_{0}^{40} =100\cdot40-\tfrac{40^2}{2}=4000-800=3200.
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\Pr(X\le40)=\frac{3200}{5000}.

Passo 3

Simplificando,
\Pr(X\le40)=\frac{3200}{5000}=0,64.

Passo 4

Para 3 bombas independentes, a probabilidade de nenhuma danificar os trilhos é
\bigl(1-0,64\bigr)^{3}=0,36^{3}.
Então a probabilidade de pelo menos uma danificar (trem não passar) é
1-0,36^{3}.

Passo 5

Calculando numericamente,
0,36^{3}=0,046656 \quad\Longrightarrow\quad 1-0,046656=0,953344.

Resposta

(a) 0,64
(b) 0,953344

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