Exercício 5. Obtenha a função geradora de momentos, média e variância de uma variável aleatória
que tem a distribuição:
(e) Normal
(e) Normal
Passo 1
O enunciado pede a função geradora de momentos (MGF), a média e a variância de uma variável aleatória
que segue distribuição Normal. Vamos assumir a forma geral
onde
é a média e
a variância. Para resolver, vamos usar a definição de MGF e depois obter média e variância pelos derivados em
.
Passo 2
A função geradora de momentos de
é definida por
Para calcular essa integral, somamos os expoentes e completamos o quadrado em
:
Passo 3
Ao reescrever a integral com o quadrado completado, vemos que o termo em
gera uma integral de densidade normal que vale 1. Assim sobra apenas o fator
Portanto
Passo 4
A média e a variância saem dos derivados de
. Primeiro derivamos:
Em
isso dá
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