Exercício 5. Obtenha a função geradora de momentos, média e variância de uma variável aleatória X que tem a distribuição:
(e) Normal

Passo 1

O enunciado pede a função geradora de momentos (MGF), a média e a variância de uma variável aleatória X que segue distribuição Normal. Vamos assumir a forma geral
X \sim N(\mu,\sigma^2),
onde \mu é a média e \sigma^2 a variância. Para resolver, vamos usar a definição de MGF e depois obter média e variância pelos derivados em t=0.

Passo 2

A função geradora de momentos de X é definida por
M_X(t) = \mathbb{E}\bigl[e^{tX}\bigr] = \int_{-\infty}^{\infty} e^{t x}\,\frac{1}{\sqrt{2\pi}\,\sigma}\exp\!\Bigl(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\Bigr)\,dx.
Para calcular essa integral, somamos os expoentes e completamos o quadrado em x:
t x - \frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2} = -\frac{1}{2\sigma^2}\bigl(x^2 -2\mu x +\mu^2 -2\sigma^2 t x\bigr) = -\frac{1}{2\sigma^2}\Bigl[(x-(\mu+\sigma^2 t))^2\Bigr] + \mu t + \frac{\sigma^2 t^2}{2}.

Passo 3

Ao reescrever a integral com o quadrado completado, vemos que o termo em (x-(\mu+\sigma^2 t))^2 gera uma integral de densidade normal que vale 1. Assim sobra apenas o fator
\exp\!\Bigl(\mu t + \tfrac{\sigma^2 t^2}{2}\Bigr).
Portanto
M_X(t) = \exp\!\Bigl(\mu t + \tfrac{\sigma^2 t^2}{2}\Bigr).

Passo 4

A média e a variância saem dos derivados de M_X(t). Primeiro derivamos:
M_X'(t) = \bigl(\mu + \sigma^2 t\bigr)\exp\!\Bigl(\mu t + \tfrac{\sigma^2 t^2}{2}\Bigr),
M_X''(t) = \bigl(\sigma^2 + (\mu + \sigma^2 t)^2\bigr)\exp\!\Bigl(\mu t + \tfrac{\sigma^2 t^2}{2}\Bigr).
Em t=0 isso dá
M_X'(0) = \mu,\quad M_X''(0) = \sigma^2 + \mu^2.
Logo
\mathbb{E}[X] = M_X'(0) = \mu,
\operatorname{Var}(X) = M_X''(0) - \bigl(M_X'(0)\bigr)^2 = (\sigma^2 + \mu^2) - \mu^2 = \sigma^2.

Resposta

M_X(t) = \exp\!\bigl(\mu t + \tfrac{\sigma^2 t^2}{2}\bigr). \mathbb{E}[X] = \mu. \operatorname{Var}(X) = \sigma^2.

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