Exercício 5. Obtenha a função geradora de momentos, média e variância de uma variável aleatória X que tem a distribuição:
(d) Exponencial

Passo 1

O enunciado pede a função geradora de momentos, a média e a variância de uma v.a. X que segue a distribuição exponencial com parâmetro \lambda>0. Para isso vamos usar a definição de função geradora de momentos
M_X(t)=\mathbb{E}\bigl[e^{tX}\bigr],
valendo para t<\lambda (condição de existência da integral).

Passo 2

Vamos calcular
M_X(t) =\int_{0}^{\infty}e^{tx}\,\bigl(\lambda e^{-\lambda x}\bigr)\,dx =\lambda\int_{0}^{\infty}e^{-(\lambda-t)x}\,dx.
Como \lambda-t>0, a integral é do tipo \int_{0}^{\infty}e^{-ax}\,dx=1/a. Logo
M_X(t) =\lambda\cdot\frac{1}{\lambda-t} =\frac{\lambda}{\lambda-t}, \qquad t<\lambda.

Passo 3

A média é dada por
\mathbb{E}[X] =M_X'(0).
Derivamos
M_X(t)=\frac{\lambda}{\lambda-t} \quad\Longrightarrow\quad M_X'(t) =\frac{\lambda}{(\lambda-t)^{2}}
e, em t=0,
\mathbb{E}[X] =M_X'(0) =\frac{\lambda}{\lambda^{2}} =\frac{1}{\lambda}.

Passo 4

A variância satisfaz
\mathrm{Var}(X) =M_X''(0)-\bigl[M_X'(0)\bigr]^{2}.
Calculamos a segunda derivada:
M_X'(t) =\frac{\lambda}{(\lambda-t)^{2}} \quad\Longrightarrow\quad M_X''(t) =\frac{2\lambda}{(\lambda-t)^{3}},
então em t=0
M_X''(0) =\frac{2\lambda}{\lambda^{3}} =\frac{2}{\lambda^{2}}.
Logo
\mathrm{Var}(X) =\frac{2}{\lambda^{2}} -\Bigl(\frac{1}{\lambda}\Bigr)^{2} =\frac{2}{\lambda^{2}}-\frac{1}{\lambda^{2}} =\frac{1}{\lambda^{2}}.

Resposta

Função geradora de momentos:
M_X(t)=\frac{\lambda}{\lambda-t},\quad t<\lambda.
Média:
\mathbb{E}[X]=\frac{1}{\lambda}.
Variância:
\mathrm{Var}(X)=\frac{1}{\lambda^{2}}.

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