Exercício 5. Obtenha a função geradora de momentos, média e variância de uma variável aleatória
que tem a distribuição:
(d) Exponencial
(d) Exponencial
Passo 1
O enunciado pede a função geradora de momentos, a média e a variância de uma v.a.
que segue a distribuição exponencial com parâmetro
. Para isso vamos usar a definição de função geradora de momentos
valendo para
(condição de existência da integral).
Passo 2
Vamos calcular
Como
, a integral é do tipo
. Logo
Passo 3
A média é dada por
Derivamos
e, em
,
Passo 4
A variância satisfaz
Calculamos a segunda derivada:
então em
Logo
Resposta
Função geradora de momentos:
Média:
Variância: