Exercício 4. Mostre que d<c se, e somente se, -c<-d.

Passo 1

O enunciado quer que mostremos, para quaisquer números reais c e d, a equivalência
d < c \quad\text{se, e somente se,}\quad -c < -d.
O conteúdo aqui é a propriedade de desigualdades em que multiplicar ambos os lados por um número negativo inverte o sentido da desigualdade.

Passo 2

Vamos à implicação direta. Suponha que
d < c.
Multiplicando ambos os lados por -1, um número negativo, invertemos o sentido da desigualdade:
-1\cdot d > -1\cdot c \qquad\Longrightarrow\qquad -d > -c.
Daí segue imediatamente
-c < -d.

Passo 3

Agora a implicação recíproca. Suponha que
-c < -d.
Multiplicando de novo por -1 e invertendo a desigualdade, obtemos
-1\cdot(-c) > -1\cdot(-d) \qquad\Longrightarrow\qquad c > d,
o que é equivalente a
d < c.

Passo 4

Como demonstramos ambas as direções, concluímos que
d < c \iff -c < -d.

Resposta

d < c se, e somente se, -c < -d.

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