Exercício 4. Mostre que
se, e somente se,
.
Passo 1
O enunciado quer que mostremos, para quaisquer números reais
e
, a equivalência
O conteúdo aqui é a propriedade de desigualdades em que multiplicar ambos os lados por um número negativo inverte o sentido da desigualdade.
Passo 2
Vamos à implicação direta. Suponha que
Multiplicando ambos os lados por
, um número negativo, invertemos o sentido da desigualdade:
Daí segue imediatamente
Passo 3
Agora a implicação recíproca. Suponha que
Multiplicando de novo por
e invertendo a desigualdade, obtemos
o que é equivalente a
Passo 4
Como demonstramos ambas as direções, concluímos que