Exercício 1. Para a, b \in \mathbb{Z}, mostre que
Se a+b=0, então b=-a e a=-b.

Passo 1

O enunciado pede para a,b\in\mathbb{Z} que, se
a + b = 0,
então provar que b = -a e a = -b. Vamos usar a estrutura de grupo abeliano de (\mathbb{Z},+): existência e unicidade do elemento inverso aditivo, e comutatividade da adição.

Passo 2

Em \mathbb{Z}, por definição, para cada elemento x existe um único inverso aditivo que chamamos de -x, satisfazendo
x + (-x) = 0.
Esse fato é fundamental para identificar qualquer solução de x + y = 0.

Passo 3

Como a + b = 0, vemos que b é um inverso aditivo de a. Mas o inverso aditivo de a em \mathbb{Z} é único e é precisamente -a. Logo
b = -a.

Passo 4

Usando a comutatividade da adição em \mathbb{Z}, temos
b + a = a + b = 0.
Isso mostra que a é um inverso aditivo de b. Pela unicidade do inverso, concluímos
a = -b.

Resposta

b = -a e a = -b.

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