Exercício 1. Para
, mostre que
Se
, então
e
.
Se
Passo 1
O enunciado pede para
que, se
então provar que
e
. Vamos usar a estrutura de grupo abeliano de
: existência e unicidade do elemento inverso aditivo, e comutatividade da adição.
Passo 2
Em
, por definição, para cada elemento
existe um único inverso aditivo que chamamos de
, satisfazendo
Esse fato é fundamental para identificar qualquer solução de
.
Passo 3
Como
, vemos que
é um inverso aditivo de
. Mas o inverso aditivo de
em
é único e é precisamente
. Logo
Passo 4
Usando a comutatividade da adição em
, temos
Isso mostra que
é um inverso aditivo de
. Pela unicidade do inverso, concluímos