\operatorname{Se}(m+2 n, m-4) e (2-m, 2 n) representam o mesmo ponto do plano cartesiano, então mn é igual a:

Passo 1

O enunciado diz que os pontos (m+2n,\;m-4) e (2-m,\;2n) são iguais, ou seja, têm mesma abscissa e mesma ordenada. Isso envolve resolver um sistema de duas equações em m e n.

Passo 2

Igualamos as abscissas:
m + 2n = 2 - m.
Somando m dos dois lados, obtemos
2m + 2n = 2 \quad\Longrightarrow\quad m + n = 1.

Passo 3

Igualamos as ordenadas:
m - 4 = 2n \quad\Longrightarrow\quad m - 2n = 4.

Passo 4

Temos então o sistema
\begin{cases} m + n = 1,\\\ m - 2n = 4. \end{cases}
Da primeira equação, m = 1 - n. Substituindo na segunda:
(1 - n) - 2n = 4 \quad\Longrightarrow\quad 1 - 3n = 4 \quad\Longrightarrow\quad -3n = 3 \quad\Longrightarrow\quad n = -1.
Logo m = 1 - (-1) = 2.

Passo 5

Agora calculamos mn:
mn = 2 \times (-1) = -2.

Resposta

-2

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