Exercício 0.4 Determine o menor número inteiro positivo
para que
, em que
é um número inteiro.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar o menor número inteiro positivo
tal que
, onde
é um número inteiro.
Informações dadas: é um inteiro fixo;
deve ser inteiro positivo e mínimo possível; o produto
precisa ser um cubo perfeito (igual a
para algum inteiro
).
Informações dadas:
Passo 2
Entendimento do que significa “ser um cubo perfeito” e estratégia geral (explicação didática).
Qualquer inteiro positivo pode ser escrito como produto de potências de primos (teorema fundamental da aritmética). Se um número é um cubo perfeito, então, na sua fatoração em primos, cada expoente deve ser múltiplo de . Por exemplo,
tem expoentes
e
, ambos múltiplos de
.
Portanto, para tornar um cubo perfeito, devemos escolher
de modo que, na fatoração prima do produto, cada expoente seja múltiplo de
. A ideia prática: fatorar
e completar os expoentes até o próximo múltiplo de
com a menor multiplicação possível.
Qualquer inteiro positivo pode ser escrito como produto de potências de primos (teorema fundamental da aritmética). Se um número é um cubo perfeito, então, na sua fatoração em primos, cada expoente deve ser múltiplo de
Portanto, para tornar
Passo 3
Fatoração prima de
(passo a passo).
Começamos dividindo por fatores óbvios:
Começamos dividindo por fatores óbvios:
Juntando tudo:
Passo 4
Determinar quanto falta para cada expoente virar múltiplo de
.
Listando os expoentes atuais:
Listando os expoentes atuais:
Para cada primo com expoente
, precisamos acrescentar
tal que
seja múltiplo de
. A menor escolha de
é
. Aplicando:
Ou em palavras: precisamos multiplicar por
,
,
e
.
Passo 5
Calcular
como o produto dos primos necessários com os expoentes calculados (detalhando as multiplicações para fazer sem calculadora).
Calcule passo a passo:
Logo,
Passo 6
Verificação e identificação de
.
Depois de multiplicar por , os expoentes tornam-se múltiplos de
:
Depois de multiplicar por
Agrupando:
Portanto
e a igualdade está correta. Como escolhemos os menores incrementos necessários para cada expoente,
é o menor inteiro positivo que funciona. (Checagem numérica:
e
.)