Exercício 0.4 Determine o menor número inteiro positivo x para que 2940 x=M^{3}, em que M é um número inteiro.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o menor número inteiro positivo x tal que 2940\cdot x = M^{3}, onde M é um número inteiro.
Informações dadas: 2940 é um inteiro fixo; x deve ser inteiro positivo e mínimo possível; o produto 2940\cdot x precisa ser um cubo perfeito (igual a M^{3} para algum inteiro M).

Passo 2

Entendimento do que significa “ser um cubo perfeito” e estratégia geral (explicação didática).
Qualquer inteiro positivo pode ser escrito como produto de potências de primos (teorema fundamental da aritmética). Se um número é um cubo perfeito, então, na sua fatoração em primos, cada expoente deve ser múltiplo de 3. Por exemplo, (2^1\cdot3^2)^3 = 2^3\cdot3^6 tem expoentes 3 e 6, ambos múltiplos de 3.
Portanto, para tornar 2940\cdot x um cubo perfeito, devemos escolher x de modo que, na fatoração prima do produto, cada expoente seja múltiplo de 3. A ideia prática: fatorar 2940 e completar os expoentes até o próximo múltiplo de 3 com a menor multiplicação possível.

Passo 3

Fatoração prima de 2940 (passo a passo).
Começamos dividindo por fatores óbvios:
2940 = 294 \cdot 10
294 = 2 \cdot 147,\qquad 147 = 3 \cdot 49,\qquad 49 = 7^2
10 = 2 \cdot 5
Juntando tudo:
2940 = 2^2 \cdot 3^1 \cdot 5^1 \cdot 7^2.

Passo 4

Determinar quanto falta para cada expoente virar múltiplo de 3.
Listando os expoentes atuais:
\text{expoente de }2\;=\;2,\quad \text{de }3\;=\;1,\quad \text{de }5\;=\;1,\quad \text{de }7\;=\;2.
Para cada primo com expoente a, precisamos acrescentar r tal que a+r seja múltiplo de 3. A menor escolha de r\ge0 é r=(3-(a\bmod 3))\bmod 3. Aplicando:
\text{para }2: a=2 \Rightarrow r=1,
\text{para }3: a=1 \Rightarrow r=2,
\text{para }5: a=1 \Rightarrow r=2,
\text{para }7: a=2 \Rightarrow r=1.
Ou em palavras: precisamos multiplicar por 2^1, 3^2, 5^2 e 7^1.

Passo 5

Calcular x como o produto dos primos necessários com os expoentes calculados (detalhando as multiplicações para fazer sem calculadora).
x = 2^1\cdot 3^2\cdot 5^2\cdot 7^1.
Calcule passo a passo:
3^2 = 9,\quad 5^2 = 25,
2\cdot 9 = 18,
18\cdot 25 = 18\cdot(100/4)=1800/4=450 \quad(\text{ou }18\times25=450),
450\cdot 7 = 3150.
Logo,
x = 3150.

Passo 6

Verificação e identificação de M.
Depois de multiplicar por x, os expoentes tornam-se múltiplos de 3:
2940\cdot x = 2^{2+1}\cdot 3^{1+2}\cdot 5^{1+2}\cdot 7^{2+1} = 2^3\cdot 3^3\cdot 5^3\cdot 7^3.
Agrupando:
2940\cdot x = (2\cdot 3\cdot 5\cdot 7)^3 = 210^3.
Portanto M=210 e a igualdade está correta. Como escolhemos os menores incrementos necessários para cada expoente, x=3150 é o menor inteiro positivo que funciona. (Checagem numérica: 210^3 = 44100\cdot210 = 9\,261\,000 e 2940\cdot3150 = 9\,261\,000.)

Resposta

3150

Exercícios relacionados