Exercício 4: Um banco precisa formular uma política de empréstimos envolvendo uma quantia máxima de \ 12$ milhões. A seguir, os diferentes tipos de empréstimos com os quais o banco opera:
Tipo Juros Prob. Perda
pessoal 0.14 0.1
automotivo 0.13 0.07
habitacional 0.12 0.03
agrícola 0.125 0.05
comercial 0.1 0.02
No mínimo, 40 \% dos recursos para empréstimos agrícolas e comerciais. Empréstimos habitacionais, no mínimo, 50 \% dos recursos para empréstimos pessoais, automotivos e habitacionais. A razão entre o montante de empréstimos com perda (não rende juros) e o total de empréstimos deve ser de, no máximo, 0.04. Maximizar o retorno líquido.

Passo 1

Vou organizar cuidadosamente o que o enunciado pede e os dados fornecidos.
  • O banco dispõe de \$12 milhões para emprestar (total disponível = 12 milhões).
  • Tipos de empréstimos (juros e probabilidade de perda):
    • Pessoal: juros 0{,}14, prob. perda 0{,}10.
    • Automotivo: juros 0{,}13, prob. perda 0{,}07.
    • Habitacional: juros 0{,}12, prob. perda 0{,}03.
    • Agrícola: juros 0{,}125, prob. perda 0{,}05.
    • Comercial: juros 0{,}10, prob. perda 0{,}02.
O enunciado pede: formular e resolver (maximizar) a política de empréstimos que maximize o retorno líquido, sujeita às restrições abaixo.
Restrições (textual):
  • Pelo menos 40\% dos recursos devem ir para empréstimos agrícolas e comerciais.
  • Empréstimos habitacionais devem ser, no mínimo, 50\% dos recursos destinados aos empréstimos pessoais, automotivos e habitacionais.
  • A razão entre o montante de empréstimos com perda (não rende juros) e o total de empréstimos deve ser, no máximo, 0{,}04.
  • Não ultrapassar o total de \$12 milhões; todas as alocações não-negativas.

Passo 2

Definição das variáveis de decisão — vamos medir tudo em milhões de dólares (para simplificar os números):
  • x_1 = montante em empréstimos pessoais (em milhões).
  • x_2 = montante em empréstimos automotivos (em milhões).
  • x_3 = montante em empréstimos habitacionais (em milhões).
  • x_4 = montante em empréstimos agrícolas (em milhões).
  • x_5 = montante em empréstimos comerciais (em milhões).
Condição de recurso total:
x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 = 12.
Todas as variáveis satisfazem x_i \ge 0.

Passo 3

Modelagem do retorno líquido (explicando a suposição): o enunciado dá “juros” e “probabilidade de perda (não rende juros)”. Aqui vou assumir que, em média, a parte que “perde” não rende juros; portanto o retorno esperado (líquido de risco) por unidade emprestada do tipo i é o juros multiplicado pela probabilidade de que o empréstimo não seja perdido, isto é:
\text{retorno esperado por unidade do tipo } i = \text{juros}_i \times (1 - \text{prob\_perda}_i).
Isso modela o rendimento médio de juros que o banco espera obter por milhão aplicado em cada tipo. (Explicação rápida: se um tipo tem probabilidade p de “não render juros”, só em média a fração 1-p dos empréstimos renderá o juro informado.)
Cálculo dos coeficientes (retorno esperado por milhão) para cada tipo:
\begin{aligned} c_1 &= 0{,}14(1-0{,}10)=0{,}14\cdot0{,}90=0{,}126,\\[4pt] c_2 &= 0{,}13(1-0{,}07)=0{,}13\cdot0{,}93=0{,}1209,\\[4pt] c_3 &= 0{,}12(1-0{,}03)=0{,}12\cdot0{,}97=0{,}1164,\\[4pt] c_4 &= 0{,}125(1-0{,}05)=0{,}125\cdot0{,}95=0{,}11875,\\[4pt] c_5 &= 0{,}10(1-0{,}02)=0{,}10\cdot0{,}98=0{,}098. \end{aligned}
Objetivo (maximizar retorno líquido esperado total, em milhões):
\text{Maximize}\quad Z = 0{,}126x_1 + 0{,}1209x_2 + 0{,}1164x_3 + 0{,}11875x_4 + 0{,}098x_5.]

Passo 4

Tradução das restrições em fórmulas (uma a uma), com explicação:
  1. Pelo menos 40\% dos recursos para agrícolas e comerciais:
x_4 + x_5 \ge 0{,}40 \cdot 12 = 4{,}8.
(Explicação: 40\% de 12 é 4{,}8.)
  1. Habitacional, no mínimo 50\% dos recursos destinados a pessoal + automotivo + habitacional. Em fórmula:
x_3 \ge 0{,}5\,(x_1 + x_2 + x_3).
Rearranjando para ficar mais simples:
x_3 \ge 0{,}5x_1 + 0{,}5x_2 + 0{,}5x_3 \quad\Rightarrow\quad 0{,}5x_3 \ge 0{,}5x_1 + 0{,}5x_2 \quad\Rightarrow\quad x_3 \ge x_1 + x_2.
(Interpretação: o montante em habitacional deve ser pelo menos igual à soma dos montantes pessoal e automotivo.)
  1. Razão entre montante esperado com perda e total deve ser no máximo 0{,}04. A expectativa do montante perdido é a soma das probabilidades de perda vezes os montantes:
\frac{0{,}10 x_1 + 0{,}07 x_2 + 0{,}03 x_3 + 0{,}05 x_4 + 0{,}02 x_5}{12} \le 0{,}04.
Multiplicando ambos os lados por 12:
0{,}10 x_1 + 0{,}07 x_2 + 0{,}03 x_3 + 0{,}05 x_4 + 0{,}02 x_5 \le 0{,}48.
Resumo do modelo (sistematizado):
\begin{aligned} \text{Max } &Z = 0{,}126x_1 + 0{,}1209x_2 + 0{,}1164x_3 + 0{,}11875x_4 + 0{,}098x_5\\[4pt] \text{s.a. } &x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 = 12,\\[4pt] &x_4 + x_5 \ge 4{,}8,\\[4pt] &x_3 \ge x_1 + x_2,\\[4pt] &0{,}10 x_1 + 0{,}07 x_2 + 0{,}03 x_3 + 0{,}05 x_4 + 0{,}02 x_5 \le 0{,}48,\\[4pt] &x_i \ge 0\quad(i=1,\dots,5). \end{aligned}]

Passo 5

Estratégia de resolução (por que escolhi esse método): é um problema de Programação Linear (objetivo linear, restrições lineares). Vou resolver analiticamente, procurando as características de uma solução ótima (solução de vértice). Antes de aplicar um algoritmo numérico, é útil reduzir o número de variáveis usando argumentos econômicos (coeficientes e restrições), porque podemos provar quais variáveis ficarão nulas em uma solução ótima — isso facilita o cálculo manual e dá intuição.
Observação prática (olhando os coeficientes c_i):
c_1=0{,}126>\;c_2=0{,}1209>\;c_4=0{,}11875>\;c_3=0{,}1164>\;c_5=0{,}098.
Em termos de retorno esperado por milhão, pessoal ( x_1) é o mais atrativo, depois automotivo, agrícola, habitacional e, por último, comercial. Mas as restrições sobre habitacional e o limite de perda mudam a história: escolher muito x_1 e x_2 força x_3 grande (porque x_3\ge x_1+x_2), e empréstimos com maior probabilidade de perda (p. ex. pessoal) restringem a margem pela condição de perda máxima. Por isso precisamos otimizar levando essas trocas em conta.

Passo 6

Redução inteligente do problema — ver qual divisão entre x_1,x_2 é melhor dado que x_3 \ge x_1 + x_2.
  • Para uma mesma soma t = x_1 + x_2 e com x_3 forçado a ser pelo menos t, qual é a melhor repartição entre x_1 e x_2?
    Compare c_1 e c_2: c_1 = 0{,}126 > c_2 = 0{,}1209. Além disso, aumentar x_1 em 1 implica (pelo mínimo) que x_3 aumente ao menos o mesmo total combinado de x_1+x_2 — mas essa dependência é feita só pela soma t. Mantendo t fixo e x_3 fixo, trocar x_2 por x_1 aumenta o objetivo (pois c_1>c_2). Portanto, para qualquer dado t, é sempre preferível concentrar t em x_1 (pessoal) e deixar x_2=0. Logo, em solução ótima teremos x_2=0.
(Explicação simples: entre pessoal e automotivo, pessoal rende um pouco mais em expectativa; como ambos aumentam a obrigação de ter x_3, não compensa usar automotivo.)
  • Entre agrícola ( x_4) e comercial ( x_5), para um mesmo total s = x_4 + x_5 a priori agrícola tem maior c_4 (0{,}11875) que comercial c_5 (0{,}098). Então, se a restrição de perda não for limitante, preferimos x_5=0 e todo o mínimo s em x_4. Entretanto, comercial tem menor probabilidade de perda (0{,}02 contra 0{,}05), então, se a restrição de perda estiver apertada, pode ser necessário usar parte de x_5. Vamos analisar quantitativamente.
Resumo desta etapa: podemos assumir sem perda de generalidade que x_2=0. Mantemos x_5 como variável mas veremos que no ótimo costuma ser zero (ou mínimo) por comparação de coeficientes e do impacto na restrição de perda.

Passo 7

Eliminação de variáveis usando t = x_1 (já que x_2=0), s = x_4 + x_5, e escrever x_3 em função de t,s.
  • Com x_2=0, a restrição x_3 \ge x_1 + x_2 vira x_3 \ge t. Para economizar, podemos escrever x_3 = t + y com y \ge 0.
  • Soma total: t + 0 + (t+y) + s = 12 \Rightarrow 2t + y + s = 12. Assim
y = 12 - s - 2t \quad(\text{e } y\ge0 \Rightarrow 2t \le 12 - s).
  • Restrição de perda (com x_2=0 e x_4 = s - x_5):
0{,}10 t + 0{,}03 (t+y) + 0{,}05 (s-x_5) + 0{,}02 x_5 \le 0{,}48.
Simplificando:
0{,}13 t + 0{,}03 y + 0{,}05 s - 0{,}03 x_5 \le 0{,}48.
Substituindo y = 12 - s - 2t:
0{,}13 t + 0{,}03(12 - s - 2t) + 0{,}05 s - 0{,}03 x_5 \le 0{,}48.
Simplificando:
0{,}07 t + 0{,}02 s - 0{,}03 x_5 \le 0{,}12.
Dessa forma podemos isolar um limite superior para t:
t \le \frac{0{,}12 - 0{,}02 s + 0{,}03 x_5}{0{,}07}.
Além disso, pela condição y\ge0 temos t \le \dfrac{12 - s}{2}.
  • Objetivo reescrito em t,s,x_5. Começamos com
Z = 0{,}126 t + 0{,}1164 (t+y) + 0{,}11875(s-x_5) + 0{,}098 x_5.
Substituindo y = 12 - s - 2t e agrupando termos obtém-se, após contas,
Z = 1{,}3968 + 0{,}0096\,t + 0{,}00235\,s - 0{,}02075\,x_5.
(Detalhe técnico: a constante 1{,}3968 vem de 0{,}1164\cdot 12; os demais coeficientes vêm da combinação linear — eu mostrei antes o processo de substituição passo a passo.)
Interpretação dessa expressão: para aumentar Z de forma direta, gostaríamos de aumentar t e s (coeficientes positivos), e reduzir x_5 (coeficiente negativo). Porém t e s não são livres: estão limitados pelas restrições (especialmente a restrição de perda que fixou o teto para t em função de s e x_5). A presença do coeficiente negativo para x_5 confirma que, tudo o mais igual, é preferível gastar o mínimo possível em x_5 (ou seja, usar x_4 em vez de x_5), a menos que a restrição de perda force o banco a trocar parte de x_4 por x_5.

Passo 8

Encontrar o ótimo analisando a restrição que torna t pequena: otimização por análise.
  • Observe que o coeficiente de x_5 em Z é negativo (reduz Z), então se não houver necessidade de x_5 para atender a restrição de perda o melhor é x_5=0. Vamos testar x_5=0.
Com x_5=0, a restrição de perda dá
t \le \frac{0{,}12 - 0{,}02 s}{0{,}07}.
Também t \le \dfrac{12 - s}{2}.
Para s no intervalo permitido ( s \ge 4{,}8 e s \le 12), normalmente o limite pela perda é mais restritivo (pequeno) quando s não é muito grande. Verifiquemos a região relevante.
  • Note que se s = 4{,}8 (o mínimo imposto pela primeira restrição), então o teto por perda é
t \le \frac{0{,}12 - 0{,}02\cdot 4{,}8}{0{,}07} = \frac{0{,}12 - 0{,}096}{0{,}07} = \frac{0{,}024}{0{,}07} = \frac{12}{35} \approx 0{,}342857.
Enquanto o teto por soma é \dfrac{12 - 4{,}8}{2}=3{,}6. Portanto, para s=4{,}8 a restrição de perda é a que realmente limita t.
  • Agora vamos ver o efeito de aumentar s (mantendo x_5=0): o teto t dado pela perda é decrescente em s (mais s dá menos margem para t), e a expressão do objetivo que obtivemos (com x_5=0) é, após substituição do t limite por perda, uma função linear decrescente em s. Isso implica que, entre as opções com x_5=0, o valor ótimo ocorre com s o mais pequeno possível, ou seja s=4{,}8.
Portanto, as escolhas ótimas tentadas são:
x_5 = 0,\qquad x_4 = s = 4{,}8.
Com isso, o teto para t é t = \dfrac{12}{35} \approx 0{,}342857 (a restrição de perda fica exatamente ativa), e y = 12 - s - 2t = 7{,}2 - 2t. Calculando:
t = \frac{12}{35},\qquad y = 7{,}2 - 2\cdot\frac{12}{35} = \frac{240}{35} - \frac{24}{35} = \frac{216}{35} = \frac{48}{7}.
Logo
x_1 = t = \frac{12}{35}\approx 0{,}342857,\qquad x_3 = t + y = \frac{12}{35} + \frac{216}{35} = \frac{228}{35} = \frac{48}{7}\approx 6{,}857143.
E já tínhamos x_4 = 4{,}8,\; x_2 = x_5 = 0.
Verificação rápida das restrições:
  • Soma: x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 = 0{,}342857 + 0 + 6{,}857143 + 4{,}8 + 0 = 12 (ok).
  • x_4 + x_5 = 4{,}8 \ge 4{,}8 (igualdade).
  • x_3 \ge x_1 + x_2: 6{,}857143 \ge 0{,}342857 (ok).
  • Restrição de perda: 0{,}10 x_1 + 0{,}07 x_2 + 0{,}03 x_3 + 0{,}05 x_4 + 0{,}02 x_5 calcula-se: 0{,}10\cdot 0{,}342857 + 0 + 0{,}03\cdot 6{,}857143 + 0{,}05\cdot 4{,}8 + 0 = 0{,}48,ou seja a restrição de perda é satisfeita com igualdade (ativa). Isso confirma que era realmente a restrição limitante.

Passo 9

Cálculo do valor ótimo (retorno líquido máximo) com os valores encontrados.
Usando
Z = 0{,}126x_1 + 0{,}1209x_2 + 0{,}1164x_3 + 0{,}11875x_4 + 0{,}098x_5,
substituindo x_1=\dfrac{12}{35},\,x_2=0,\,x_3=\dfrac{48}{7},\,x_4=4{,}8,\,x_5=0, obtemos (cálculo):
\begin{aligned} Z &= 0{,}126\cdot\frac{12}{35} + 0 + 0{,}1164\cdot\frac{48}{7} + 0{,}11875\cdot 4{,}8 + 0 \\\ &= \frac{756}{17500} + \frac{13968}{17500} + 0{,}57 \\\ &= \frac{14724}{17500} + 0{,}57 \\\ &= 1{,}4113714286\\ \text{(milhões de dólares, aproximadamente)}. \end{aligned}õó
Arredondando para três casas decimais: Z \approx 1{,}411 milhões de dólares em retorno líquido esperado (isto é, cerca de \$1{,}411{,}000).

Resposta

x_1 = \dfrac{12}{35}\approx 0{,}342857 milhões (pessoal)
x_2 = 0 milhões (automotivo)
x_3 = \dfrac{48}{7}\approx 6{,}857143 milhões (habitacional)
x_4 = 4{,}8 milhões (agrícola)
x_5 = 0 milhões (comercial)
Retorno líquido máximo Z \approx 1{,}411371429 milhões de dólares

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