Exercício 4: Um banco precisa formular uma política de empréstimos envolvendo uma quantia máxima de
12$ milhões. A seguir, os diferentes tipos de empréstimos com os quais o banco opera:
Tipo
Juros
Prob. Perda
pessoal
0.14
0.1
automotivo
0.13
0.07
habitacional
0.12
0.03
agrícola
0.125
0.05
comercial
0.1
0.02
No mínimo,
dos recursos para empréstimos agrícolas e comerciais. Empréstimos habitacionais, no mínimo,
dos recursos para empréstimos pessoais, automotivos e habitacionais. A razão entre o montante de empréstimos com perda (não rende juros) e o total de empréstimos deve ser de, no máximo, 0.04. Maximizar o retorno líquido.
| Tipo | Juros | Prob. Perda |
| pessoal | 0.14 | 0.1 |
| automotivo | 0.13 | 0.07 |
| habitacional | 0.12 | 0.03 |
| agrícola | 0.125 | 0.05 |
| comercial | 0.1 | 0.02 |
Passo 1
Vou organizar cuidadosamente o que o enunciado pede e os dados fornecidos.
- O banco dispõe de
milhões para emprestar (total disponível = milhões). - Tipos de empréstimos (juros e probabilidade de perda):
- Pessoal: juros
, prob. perda . - Automotivo: juros
, prob. perda . - Habitacional: juros
, prob. perda . - Agrícola: juros
, prob. perda . - Comercial: juros
, prob. perda .
- Pessoal: juros
O enunciado pede: formular e resolver (maximizar) a política de empréstimos que maximize o retorno líquido, sujeita às restrições abaixo.
Restrições (textual):
- Pelo menos
dos recursos devem ir para empréstimos agrícolas e comerciais. - Empréstimos habitacionais devem ser, no mínimo,
dos recursos destinados aos empréstimos pessoais, automotivos e habitacionais. - A razão entre o montante de empréstimos com perda (não rende juros) e o total de empréstimos deve ser, no máximo,
. - Não ultrapassar o total de
milhões; todas as alocações não-negativas.
Passo 2
Definição das variáveis de decisão — vamos medir tudo em milhões de dólares (para simplificar os números):
-
= montante em empréstimos pessoais (em milhões). -
= montante em empréstimos automotivos (em milhões). -
= montante em empréstimos habitacionais (em milhões). -
= montante em empréstimos agrícolas (em milhões). -
= montante em empréstimos comerciais (em milhões).
Condição de recurso total:
Todas as variáveis satisfazem
.
Passo 3
Modelagem do retorno líquido (explicando a suposição): o enunciado dá “juros” e “probabilidade de perda (não rende juros)”. Aqui vou assumir que, em média, a parte que “perde” não rende juros; portanto o retorno esperado (líquido de risco) por unidade emprestada do tipo
é o juros multiplicado pela probabilidade de que o empréstimo não seja perdido, isto é:
Isso modela o rendimento médio de juros que o banco espera obter por milhão aplicado em cada tipo. (Explicação rápida: se um tipo tem probabilidade
de “não render juros”, só em média a fração
dos empréstimos renderá o juro informado.)
Cálculo dos coeficientes (retorno esperado por milhão) para cada tipo:
Objetivo (maximizar retorno líquido esperado total, em milhões):
Passo 4
Tradução das restrições em fórmulas (uma a uma), com explicação:
- Pelo menos
dos recursos para agrícolas e comerciais:
(Explicação:
de
é
.)
- Habitacional, no mínimo
dos recursos destinados a pessoal + automotivo + habitacional. Em fórmula:
Rearranjando para ficar mais simples:
(Interpretação: o montante em habitacional deve ser pelo menos igual à soma dos montantes pessoal e automotivo.)
- Razão entre montante esperado com perda e total deve ser no máximo
. A expectativa do montante perdido é a soma das probabilidades de perda vezes os montantes:
Multiplicando ambos os lados por
:
Resumo do modelo (sistematizado):
Passo 5
Estratégia de resolução (por que escolhi esse método): é um problema de Programação Linear (objetivo linear, restrições lineares). Vou resolver analiticamente, procurando as características de uma solução ótima (solução de vértice). Antes de aplicar um algoritmo numérico, é útil reduzir o número de variáveis usando argumentos econômicos (coeficientes e restrições), porque podemos provar quais variáveis ficarão nulas em uma solução ótima — isso facilita o cálculo manual e dá intuição.
Observação prática (olhando os coeficientes
):
Em termos de retorno esperado por milhão, pessoal (
) é o mais atrativo, depois automotivo, agrícola, habitacional e, por último, comercial. Mas as restrições sobre habitacional e o limite de perda mudam a história: escolher muito
e
força
grande (porque
), e empréstimos com maior probabilidade de perda (p. ex. pessoal) restringem a margem pela condição de perda máxima. Por isso precisamos otimizar levando essas trocas em conta.
Passo 6
Redução inteligente do problema — ver qual divisão entre
é melhor dado que
.
- Para uma mesma soma
e com forçado a ser pelo menos , qual é a melhor repartição entre e ?
Comparee : . Além disso, aumentar em implica (pelo mínimo) que aumente ao menos o mesmo total combinado de — mas essa dependência é feita só pela soma . Mantendo fixo e fixo, trocar por aumenta o objetivo (pois ). Portanto, para qualquer dado , é sempre preferível concentrar em (pessoal) e deixar . Logo, em solução ótima teremos .
(Explicação simples: entre pessoal e automotivo, pessoal rende um pouco mais em expectativa; como ambos aumentam a obrigação de ter
, não compensa usar automotivo.)
- Entre agrícola (
) e comercial ( ), para um mesmo total a priori agrícola tem maior (0{,}11875) que comercial (0{,}098). Então, se a restrição de perda não for limitante, preferimos e todo o mínimo em . Entretanto, comercial tem menor probabilidade de perda (0{,}02 contra 0{,}05), então, se a restrição de perda estiver apertada, pode ser necessário usar parte de . Vamos analisar quantitativamente.
Resumo desta etapa: podemos assumir sem perda de generalidade que
. Mantemos
como variável mas veremos que no ótimo costuma ser zero (ou mínimo) por comparação de coeficientes e do impacto na restrição de perda.
Passo 7
Eliminação de variáveis usando
(já que
),
, e escrever
em função de
.
- Com
, a restrição vira . Para economizar, podemos escrever com . - Soma total:
. Assim
- Restrição de perda (com
e ):
Simplificando:
Substituindo
:
Simplificando:
Dessa forma podemos isolar um limite superior para
:
Além disso, pela condição
temos
.
- Objetivo reescrito em
. Começamos com
Substituindo
e agrupando termos obtém-se, após contas,
(Detalhe técnico: a constante
vem de
; os demais coeficientes vêm da combinação linear — eu mostrei antes o processo de substituição passo a passo.)
Interpretação dessa expressão: para aumentar
de forma direta, gostaríamos de aumentar
e
(coeficientes positivos), e reduzir
(coeficiente negativo). Porém
e
não são livres: estão limitados pelas restrições (especialmente a restrição de perda que fixou o teto para
em função de
e
). A presença do coeficiente negativo para
confirma que, tudo o mais igual, é preferível gastar o mínimo possível em
(ou seja, usar
em vez de
), a menos que a restrição de perda force o banco a trocar parte de
por
.
Passo 8
Encontrar o ótimo analisando a restrição que torna
pequena: otimização por análise.
- Observe que o coeficiente de
em é negativo (reduz ), então se não houver necessidade de para atender a restrição de perda o melhor é . Vamos testar .
Com
, a restrição de perda dá
Também
.
Para
no intervalo permitido (
e
), normalmente o limite pela perda é mais restritivo (pequeno) quando
não é muito grande. Verifiquemos a região relevante.
- Note que se
(o mínimo imposto pela primeira restrição), então o teto por perda é
Enquanto o teto por soma é
. Portanto, para
a restrição de perda é a que realmente limita
.
- Agora vamos ver o efeito de aumentar
(mantendo ): o teto dado pela perda é decrescente em (mais dá menos margem para ), e a expressão do objetivo que obtivemos (com ) é, após substituição do limite por perda, uma função linear decrescente em . Isso implica que, entre as opções com , o valor ótimo ocorre com o mais pequeno possível, ou seja .
Portanto, as escolhas ótimas tentadas são:
Com isso, o teto para
é
(a restrição de perda fica exatamente ativa), e
. Calculando:
Logo
E já tínhamos
.
Verificação rápida das restrições:
- Soma:
(ok). -
(igualdade). -
: (ok). - Restrição de perda:
calcula-se: ou seja a restrição de perda é satisfeita com igualdade (ativa). Isso confirma que era realmente a restrição limitante.
Passo 9
Cálculo do valor ótimo (retorno líquido máximo) com os valores encontrados.
Usando
substituindo
, obtemos (cálculo):
Arredondando para três casas decimais:
milhões de dólares em retorno líquido esperado (isto é, cerca de
).
Resposta
Retorno líquido máximo