Exercício 6: Considere que você tenha 100 mil reais para investir. Há cinco possibilidades de investimento, cada um com um retorno e um risco associado (1-10) com risco 1 sendo o mais baixo:
Investimento Retorno (%) Risco
1 9 3
2 12 6
3 15 8
4 8 2
5 6 1
Qualquer dinheiro não investido vai para uma conta-poupança com nenhum risco e retorno de 3 \%. O objetivo é alocar o dinheiro nos diversos tipos de investimentos de tal maneira a:
  • Maximizar o retorno em reais.
  • Tenha um risco total inferior a 5 .
  • Investir pelo menos 20 \% no investimento 4 .
  • A quantia investida em 2 e 3 não deve ser maior do que a quantia investida em 1.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados (pegos do enunciado):
  • Capital total disponível: 100{,}000 reais.
  • Cinco investimentos com retorno percentual e risco (escala 1–10):
    • Investimento 1: retorno 9\%, risco 3.
    • Investimento 2: retorno 12\%, risco 6.
    • Investimento 3: retorno 15\%, risco 8.
    • Investimento 4: retorno 8\%, risco 2.
    • Investimento 5: retorno 6\%, risco 1.
  • Poupança (dinheiro não investido) tem retorno 3\% e risco 0.
Restrições pedidas:
  • Maximizar o retorno em reais.
  • Risco total inferior a 5 (interpretação definida no próximo passo).
  • Investir pelo menos 20\% no investimento 4 (ou seja, pelo menos 20{,}000 reais).
  • A quantia investida em 2 e 3 não deve ser maior do que a quantia investida em 1 (ou seja, x_2 + x_3 \le x_1).
O que o enunciado pede:
  • Encontrar a alocação dos 100{,}000 reais entre os investimentos (e possivelmente poupança) que maximize o retorno em reais sujeita às restrições acima.

Passo 2

Definir variáveis e assumir interpretação do “risco total”.
Variáveis (em reais):
  • x_1,x_2,x_3,x_4,x_5: montantes investidos nos investimentos 1 a 5.
  • x_p: montante deixado na poupança.
Todas as variáveis satisfazem x_i \ge 0 e
x_1+x_2+x_3+x_4+x_5+x_p = 100{,}000.
Assunção sobre “risco total”: vou usar a interpretação mais comum em problemas lineares de alocação simples — risco total como média ponderada dos riscos individuais, isto é o risco médio do portfólio. Em termos matemáticos, a restrição "risco total inferior a 5" equivale a
\frac{3x_1+6x_2+8x_3+2x_4+1x_5+0\cdot x_p}{100{,}000} \le 5.
Multiplicando por 100{,}000 obtemos a forma linear:
3x_1+6x_2+8x_3+2x_4+1x_5 \le 500{,}000.
Função objetivo (retorno em reais por ano): somar retornos percentuais aplicados aos montantes:
\text{Maximizar }R = 0{,}09x_1 + 0{,}12x_2 + 0{,}15x_3 + 0{,}08x_4 + 0{,}06x_5 + 0{,}03x_p.
Restrições adicionais:
x_4 \ge 20{,}000, \qquad x_2+x_3 \le x_1.
Resumo do problema em forma LP (linear):
  • Variáveis não-negativas com soma 100{,}000.
  • Risco: 3x_1+6x_2+8x_3+2x_4+x_5 \le 500{,}000.
  • x_4 \ge 20{,}000.
  • x_2+x_3 \le x_1.
  • Maximizar R acima.

Passo 3

Estratégia de solução — por que usar raciocínio algébrico em vez de calcular numericamente com solver.
Este é um problema de programação linear com poucas variáveis e restrições lineares. Em LP contínuo a solução ótima aparece em um vértice do politopo das restrições; aqui posso usar raciocínio sobre eficiência marginal e simplificações pelas restrições que provavelmente estarão ativas na solução ótima. Além disso, uma observação importante: a restrição x_2+x_3 \le x_1 costuma ficar ativa na solução ótima (ou seja, x_1 = x_2+x_3), porque qualquer x_1 maior que o necessário reduz retorno (já que x_1 tem retorno menor que x_2 e x_3 em média) sem melhorar nenhum outro requisito. Vou então testar a hipótese de que, no extremo ótimo, vale x_1 = x_2 + x_3. Se isso levar a uma solução factível ótima, justifico depois porque não vale a pena deixar folga nessa desigualdade.

Passo 4

Reduzir as variáveis usando x_1 = x_2 + x_3.
Defino y = x_2 + x_3. Pela hipótese de otimização tomarei x_1 = y. Então
x_1 = y,\qquad x_2 = y - x_3 \quad(\text{com }0\le x_3 \le y).
A soma total x_1+x_2+x_3+x_4+x_5+x_p=100{,}000 vira
y + y + x_4 + x_5 + x_p = 100{,}000 \quad\Rightarrow\quad 2y + x_4 + x_5 + x_p = 100{,}000.
A restrição de risco (multiplicada por 100{,}000) substituindo x_1 e x_2:
3x_1 + 6x_2 + 8x_3 + 2x_4 + x_5 = 3y + 6(y-x_3) + 8x_3 + 2x_4 + x_5 = 9y + 2x_3 + 2x_4 + x_5 \le 500{,}000.
A função objetivo fica (substituindo x_1 e x_2):
R = 0{,}09y + 0{,}12(y-x_3) + 0{,}15 x_3 + 0{,}08 x_4 + 0{,}06 x_5 + 0{,}03 x_p.
Agrupando termos:
R = 0{,}21y + 0{,}03 x_3 + 0{,}08 x_4 + 0{,}06 x_5 + 0{,}03 x_p.
Observação útil (para decisão): cada unidade de y representa x_1=y e também consome y unidades adicionais em x_2+x_3, portanto cada unidade de y consome 2 reais de capital quando se olha para a equação de fundos 2y + x_4 + x_5 + x_p = 100{,}000. Assim retorno por real gasto quando se aumenta y (mantendo proporções internas) é aproximadamente
\frac{0{,}21\text{ por unidade de }y}{2\text{ reais}} = 0{,}105 = 10{,}5\% \text{ por real investido em esse "bloco }y\text{.}
Comparações rápidas por real investido:
  • bloco y: 10{,}5\% por real.
  • investimento 4: 8\% por real.
  • investimento 5: 6\% por real.
  • poupança: 3\% por real.
Logo, por real disponível, investir na combinação x_1 com x_2 ou x_3 (i.e. aumentar y) rende mais do que aplicar em 4 ou 5. Isso indica que, para maximizar retorno, é vantajoso priorizar aumentar y (respeitando o risco) em vez de aplicar em 4 ou 5 — exceto que existe a exigência mínima x_4\ge 20{,}000.

Passo 5

Escolher x_4 no mínimo exigido e decidir sobre poupança e x_5.
A restrição x_4\ge 20{,}000 impõe um mínimo; como o bloco y dá retorno por real maior que x_4, não faz sentido aumentar x_4 acima do mínimo a não ser por necessidade de reduzir risco. A poupança e o investimento 5 têm retorno por real menor que o bloco y; portanto, se o risco permitir, é melhor usar fundos para aumentar y.
Então, fixe inicialmente x_4 = 20{,}000 (o mínimo), e observe que se conseguimos alocar todos os outros 80{,}000 reais em y (i.e. 2y=80{,}000\Rightarrow y=40{,}000) e ainda respeitar o limite de risco, isso provavelmente será ótimo, porque y domina por real.
Vamos então tentar x_4 = 20{,}000 e x_p=0 e x_5=0 (ou seja, investir todo o restante em y). Isso dá
2y = 100{,}000 - x_4 = 80{,}000 \quad\Rightarrow\quad y = 40{,}000.

Passo 6

Determinar x_3 e x_2 (distribuição interna de y) usando a restrição de risco.
Com y=40{,}000 e x_4=20{,}000, a restrição de risco é
9y + 2x_3 + 2x_4 + x_5 \le 500{,}000.
Substituindo y=40{,}000, x_4=20{,}000, x_5=0:
9\cdot 40{,}000 + 2x_3 + 2\cdot 20{,}000 \le 500{,}000.
Calculemos:
360{,}000 + 2x_3 + 40{,}000 \le 500{,}000 \quad\Rightarrow\quad 400{,}000 + 2x_3 \le 500{,}000 \quad\Rightarrow\quad 2x_3 \le 100{,}000 \quad\Rightarrow\quad x_3 \le 50{,}000.
Mas x_3 também deve satisfazer 0\le x_3 \le y = 40{,}000. Assim o limite efetivo é x_3 \le 40{,}000. Para maximizar R note que, mantendo y fixo, o coeficiente de x_3 em R é positivo ( +0{,}03 por real): aumentar x_3 aumentando proporção de x_3 dentro de y aumenta o retorno (pois x_3 rende 15% enquanto x_2 rende 12%, e o efeito combinado já foi linearizado na forma com y). Portanto, ao escolher dentro do bloco y, é ótimo escolher x_3 o máximo possível, i.e.
x_3 = y = 40{,}000,\qquad x_2 = y - x_3 = 0.
Isso respeita a desigualdade x_2+x_3 \le x_1 (ficando com igualdade), e respeita o risco (verificação seguinte).

Passo 7

Verificar todas as restrições e calcular o retorno final e o risco médio.
Montantes encontrados:
x_1 = y = 40{,}000,\quad x_2 = 0,\quad x_3 = 40{,}000,\quad x_4 = 20{,}000,\quad x_5 = 0,\quad x_p = 0.
Soma dos montantes:
40{,}000 + 0 + 40{,}000 + 20{,}000 + 0 + 0 = 100{,}000 \quad\checkmark
Risco total (soma ponderada):
3x_1+6x_2+8x_3+2x_4+1x_5 = 3\cdot 40{,}000 + 6\cdot 0 + 8\cdot 40{,}000 + 2\cdot 20{,}000 + 1\cdot 0.
Calcule:
= 120{,}000 + 0 + 320{,}000 + 40{,}000 = 480{,}000.
Risco médio do portfólio:
\frac{480{,}000}{100{,}000} = 4{,}8 < 5 \quad\checkmark
Retorno anual em reais:
R = 0{,}09\cdot 40{,}000 + 0{,}12\cdot 0 + 0{,}15\cdot 40{,}000 + 0{,}08\cdot 20{,}000 + 0{,}06\cdot 0 + 0{,}03\cdot 0.
Calcule:
R = 3{,}600 + 0 + 6{,}000 + 1{,}600 + 0 + 0 = 11{,}200\\ \text{reais por ano.}
Justificativa de otimalidade (intuitiva e suficiente aqui):
  • O bloco y (com x_1=y e x_2+x_3=y) dá retorno por real maior ( 10{,}5\%) do que investir em 4 ou 5; portanto, sob o limite de risco, é preferível priorizar y.
  • Mantendo y fixo, escolher x_3 máximo (e x_2=0) aumenta retorno e usa o risco de forma permitida até o teto; fizemos exatamente isso até o máximo permitido por fundos ( x_3\le y) e risco.
  • x_4 foi fixado no mínimo exigido 20{,}000 porque aumentar x_4 reduziria y (fundos limitados) e diminuiria retorno por real.
  • Não há vantagem em deixar dinheiro na poupança ou em x_5 dado que sua rentabilidade por real é bem menor que a combinação y e o risco ainda permite a configuração encontrada.
Portanto a solução encontrada é consistente, factível e, pelo raciocínio de dominações marginais, é ótima.

Resposta

x_1 = 40{,}000 reais
x_2 = 0 reais
x_3 = 40{,}000 reais
x_4 = 20{,}000 reais
x_5 = 0 reais
x_p = 0 reais
Retorno anual máximo: R = 11{,}200 reais.
Risco médio do portfólio: 4{,}8 (satisfeita a restrição <5).

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