Exercício 6: Considere que você tenha 100 mil reais para investir. Há cinco possibilidades de investimento, cada um com um retorno e um risco associado (1-10) com risco 1 sendo o mais baixo:
Investimento
Retorno (%)
Risco
1
9
3
2
12
6
3
15
8
4
8
2
5
6
1
Qualquer dinheiro não investido vai para uma conta-poupança com nenhum risco e retorno de
. O objetivo é alocar o dinheiro nos diversos tipos de investimentos de tal maneira a:
- Maximizar o retorno em reais.
- Tenha um risco total inferior a 5 .
- Investir pelo menos
no investimento 4 .
- A quantia investida em 2 e 3 não deve ser maior do que a quantia investida em 1.
| Investimento | Retorno (%) | Risco |
| 1 | 9 | 3 |
| 2 | 12 | 6 |
| 3 | 15 | 8 |
| 4 | 8 | 2 |
| 5 | 6 | 1 |
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados (pegos do enunciado):
- Capital total disponível:
reais. - Cinco investimentos com retorno percentual e risco (escala 1–10):
- Investimento 1: retorno
, risco . - Investimento 2: retorno
, risco . - Investimento 3: retorno
, risco . - Investimento 4: retorno
, risco . - Investimento 5: retorno
, risco .
- Investimento 1: retorno
- Poupança (dinheiro não investido) tem retorno
e risco .
Restrições pedidas:
- Maximizar o retorno em reais.
- Risco total inferior a
(interpretação definida no próximo passo). - Investir pelo menos
no investimento 4 (ou seja, pelo menos reais). - A quantia investida em 2 e 3 não deve ser maior do que a quantia investida em 1 (ou seja,
).
O que o enunciado pede:
- Encontrar a alocação dos
reais entre os investimentos (e possivelmente poupança) que maximize o retorno em reais sujeita às restrições acima.
Passo 2
Definir variáveis e assumir interpretação do “risco total”.
Variáveis (em reais):
-
: montantes investidos nos investimentos 1 a 5. -
: montante deixado na poupança.
Todas as variáveis satisfazem
e
Assunção sobre “risco total”: vou usar a interpretação mais comum em problemas lineares de alocação simples — risco total como média ponderada dos riscos individuais, isto é o risco médio do portfólio. Em termos matemáticos, a restrição "risco total inferior a
" equivale a
Multiplicando por
obtemos a forma linear:
Função objetivo (retorno em reais por ano): somar retornos percentuais aplicados aos montantes:
Restrições adicionais:
Resumo do problema em forma LP (linear):
- Variáveis não-negativas com soma
. - Risco:
-
-
- Maximizar
acima.
Passo 3
Estratégia de solução — por que usar raciocínio algébrico em vez de calcular numericamente com solver.
Este é um problema de programação linear com poucas variáveis e restrições lineares. Em LP contínuo a solução ótima aparece em um vértice do politopo das restrições; aqui posso usar raciocínio sobre eficiência marginal e simplificações pelas restrições que provavelmente estarão ativas na solução ótima. Além disso, uma observação importante: a restrição
costuma ficar ativa na solução ótima (ou seja,
), porque qualquer
maior que o necessário reduz retorno (já que
tem retorno menor que
e
em média) sem melhorar nenhum outro requisito. Vou então testar a hipótese de que, no extremo ótimo, vale
. Se isso levar a uma solução factível ótima, justifico depois porque não vale a pena deixar folga nessa desigualdade.
Passo 4
Reduzir as variáveis usando
.
Defino
. Pela hipótese de otimização tomarei
. Então
A soma total
vira
A restrição de risco (multiplicada por
) substituindo
e
:
A função objetivo fica (substituindo
e
):
Agrupando termos:
Observação útil (para decisão): cada unidade de
representa
e também consome
unidades adicionais em
, portanto cada unidade de
consome
reais de capital quando se olha para a equação de fundos
. Assim retorno por real gasto quando se aumenta
(mantendo proporções internas) é aproximadamente
Comparações rápidas por real investido:
- bloco
: por real. - investimento 4:
por real. - investimento 5:
por real. - poupança:
por real.
Logo, por real disponível, investir na combinação
com
ou
(i.e. aumentar
) rende mais do que aplicar em 4 ou 5. Isso indica que, para maximizar retorno, é vantajoso priorizar aumentar
(respeitando o risco) em vez de aplicar em 4 ou 5 — exceto que existe a exigência mínima
.
Passo 5
Escolher
no mínimo exigido e decidir sobre poupança e
.
A restrição
impõe um mínimo; como o bloco
dá retorno por real maior que
, não faz sentido aumentar
acima do mínimo a não ser por necessidade de reduzir risco. A poupança e o investimento 5 têm retorno por real menor que o bloco
; portanto, se o risco permitir, é melhor usar fundos para aumentar
.
Então, fixe inicialmente
(o mínimo), e observe que se conseguimos alocar todos os outros
reais em
(i.e.
) e ainda respeitar o limite de risco, isso provavelmente será ótimo, porque
domina por real.
Vamos então tentar
e
e
(ou seja, investir todo o restante em
). Isso dá
Passo 6
Determinar
e
(distribuição interna de
) usando a restrição de risco.
Com
e
, a restrição de risco é
Substituindo
,
,
:
Calculemos:
Mas
também deve satisfazer
. Assim o limite efetivo é
. Para maximizar
note que, mantendo
fixo, o coeficiente de
em
é positivo (
por real): aumentar
aumentando proporção de
dentro de
aumenta o retorno (pois
rende 15% enquanto
rende 12%, e o efeito combinado já foi linearizado na forma com
). Portanto, ao escolher dentro do bloco
, é ótimo escolher
o máximo possível, i.e.
Isso respeita a desigualdade
(ficando com igualdade), e respeita o risco (verificação seguinte).
Passo 7
Verificar todas as restrições e calcular o retorno final e o risco médio.
Montantes encontrados:
Soma dos montantes:
Risco total (soma ponderada):
Calcule:
Risco médio do portfólio:
Retorno anual em reais:
Calcule:
Justificativa de otimalidade (intuitiva e suficiente aqui):
- O bloco
(com e ) dá retorno por real maior ( ) do que investir em 4 ou 5; portanto, sob o limite de risco, é preferível priorizar . - Mantendo
fixo, escolher máximo (e ) aumenta retorno e usa o risco de forma permitida até o teto; fizemos exatamente isso até o máximo permitido por fundos ( ) e risco. -
foi fixado no mínimo exigido porque aumentar reduziria (fundos limitados) e diminuiria retorno por real. - Não há vantagem em deixar dinheiro na poupança ou em
dado que sua rentabilidade por real é bem menor que a combinação e o risco ainda permite a configuração encontrada.
Portanto a solução encontrada é consistente, factível e, pelo raciocínio de dominações marginais, é ótima.
Resposta
Retorno anual máximo:
reais.
Risco médio do portfólio: (satisfeita a restrição
).
Risco médio do portfólio: