Exercício 4. Em qual a base do sistema de numeração em que 243 é o quadrado de 16 ?
Passo 1
O enunciado pergunta: “Em qual a base do sistema de numeração em que 243 é o quadrado de 16?”
Informações dadas e observações imediatas:
Informações dadas e observações imediatas:
- Temos o numeral “243” escrito em alguma base desconhecida
. - Temos o numeral “16” escrito na mesma base
. - A condição é que o valor de “243” na base
seja igual ao quadrado do valor de “16” na base . - Os algarismos presentes são
, então a base precisa ser maior que o maior algarismo observado (isto é, ). Não resolvemos nada ainda, só identificamos o que é pedido e os dados.
Passo 2
Entendendo a representação posicional (a ideia que vamos usar): em uma base
, o numeral formado por dígitos
representa o número
Exemplo concreto em base decimal (
): o numeral “243” representa
Aplicaremos essa regra para expressar “243” e “16” em termos de
.
Passo 3
Escrevendo os valores em termos de
:
- O numeral “243” em base
vale
- O numeral “16” em base
vale
A condição do problema é que “243” seja o quadrado de “16”, ou seja:
Passo 4
Desenvolvemos o quadrado e trazemos tudo para um lado para obter uma equação polinomial:
Igualando e subtraindo o lado direito:
Passo 5
Simplificando a expressão acima:
Então precisamos resolver a equação quadrática
Passo 6
Resolvemos a quadrática por fatoração (procurando dois números cujo produto seja
e cuja soma seja
). Esses números são
e
, portanto:
As raízes são
e
. Como base deve ser positiva e maior que os dígitos, descartamos
e ficamos com
.
Passo 7
Conferência final (verificação numérica) em
:
- Calculando “243” em base
:
- Calculando “16” em base
e seu quadrado:
Como os dois resultados coincidem (
),
satisfaz a condição e respeita a restrição
.