Exercício 4. Em qual a base do sistema de numeração em que 243 é o quadrado de 16 ?

Passo 1

O enunciado pergunta: “Em qual a base do sistema de numeração em que 243 é o quadrado de 16?”
Informações dadas e observações imediatas:
  • Temos o numeral “243” escrito em alguma base desconhecida b.
  • Temos o numeral “16” escrito na mesma base b.
  • A condição é que o valor de “243” na base b seja igual ao quadrado do valor de “16” na base b.
  • Os algarismos presentes são 2,4,3,1,6, então a base b precisa ser maior que o maior algarismo observado (isto é, b\ge 7). Não resolvemos nada ainda, só identificamos o que é pedido e os dados.

Passo 2

Entendendo a representação posicional (a ideia que vamos usar): em uma base b, o numeral formado por dígitos d_n d_{n-1}\dots d_1 d_0 representa o número
d_n b^n + d_{n-1} b^{n-1} + \dots + d_1 b + d_0.
Exemplo concreto em base decimal ( b=10): o numeral “243” representa
2\cdot 10^2 + 4\cdot 10 + 3 = 200 + 40 + 3 = 243.
Aplicaremos essa regra para expressar “243” e “16” em termos de b.

Passo 3

Escrevendo os valores em termos de b:
  • O numeral “243” em base b vale
2b^2 + 4b + 3.
  • O numeral “16” em base b vale
1\cdot b + 6 = b + 6.
A condição do problema é que “243” seja o quadrado de “16”, ou seja:
2b^2 + 4b + 3 = (b+6)^2.

Passo 4

Desenvolvemos o quadrado e trazemos tudo para um lado para obter uma equação polinomial:
(b+6)^2 = b^2 + 12b + 36.
Igualando e subtraindo o lado direito:
2b^2 + 4b + 3 = b^2 + 12b + 36
\Rightarrow 2b^2 + 4b + 3 - (b^2 + 12b + 36) = 0.

Passo 5

Simplificando a expressão acima:
2b^2 + 4b + 3 - b^2 - 12b - 36 = 0
\Rightarrow b^2 - 8b - 33 = 0.
Então precisamos resolver a equação quadrática
b^2 - 8b - 33 = 0.

Passo 6

Resolvemos a quadrática por fatoração (procurando dois números cujo produto seja -33 e cuja soma seja -8). Esses números são -11 e 3, portanto:
b^2 - 8b - 33 = (b-11)(b+3) = 0.
As raízes são b=11 e b=-3. Como base deve ser positiva e maior que os dígitos, descartamos b=-3 e ficamos com b=11.

Passo 7

Conferência final (verificação numérica) em b=11:
  • Calculando “243” em base 11:
2\cdot 11^2 + 4\cdot 11 + 3 = 2\cdot 121 + 44 + 3 = 242 + 44 + 3 = 289.
  • Calculando “16” em base 11 e seu quadrado:
16_{(11)} = 1\cdot 11 + 6 = 17,\quad 17^2 = 289.
Como os dois resultados coincidem ( 289), b=11 satisfaz a condição e respeita a restrição b\ge 7.

Resposta

\,11

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