Exercício 5. Bischoff et al. (1971) sugeriram um modelo simplificado para o tratamento por quimioterapia de um tipo específico de leucemia que utiliza arabinose-citosina. Eles supuseram que a taxa de maturação de células malignas é constante v e que a droga leva à morte celular a uma taxa constante mu, a qual varia com a concentração da droga e com a idade da célula. As equações do seu modelo são:
partial npartial t=-v partial npartial alpha-mu n,
onde
mu(alpha, t)=K1(alpha, t) c(t)K2(alpha, t)+c(t),
n é o número de células, e alpha é a concentração da droga. A equação que descreve a mitose no seu modelo é
n(0, t)=2 n(1, t)
Mostre que
n(alpha, t)=N0(2 ln 2) 2^-(alpha-v t) e^-integral0^t mu(t^prime) d t^prime
é uma solução para a equação.

Passo 1

O enunciado dá a equação em derivadas parciais
partial npartial t = -,v,partial npartial alpha - mu(alpha,t),n
com condição de contorno da mitose
n(0,t) = 2,n(1,t)
Queremos mostrar que
n(alpha,t) = N0,(2ln 2);2^-(alpha - v t);expl(-!integral0^tmul(alpha(t'),t'r),dt'r)
satisfaz tanto a PDE quanto a condição de mitose.

Passo 2

Calculemos partial n/partial t e partial n/partial alpha. Escreva
n(alpha,t)=A;2^-(alpha-vt),E(t),
onde A=N0(2ln2) e
E(t)=expl(-!integral0^tmu(alpha(t'),t'),dt'r)
Então, usando a regra da cadeia para a parte 2^-(alpha-vt):
partialpartial t2^-(alpha-vt) =2^-(alpha-vt),(vln2),
dEdt=-mu(alpha,t),E(t)
Logo
partial npartial t =Al[2^-(alpha-vt),(vln2),E(t) +2^-(alpha-vt),dEdtr] =n,(vln2-mu)
Por outro lado,
partialpartial alpha2^-(alpha-vt) =2^-(alpha-vt),(-ln2),
portanto
partial npartial alpha =-,(ln2),n
Finalmente,
-,v,partial npartial alpha-mu,n =-vl(-ln2,nr)-mu,n =n,(vln2-mu) =partial npartial t,
o que verifica a PDE.

Passo 3

Verifiquemos n(0,t)=2,n(1,t).
n(0,t)=A,2^-(-vt)E(t)=A,2^vtE(t),
n(1,t)=A,2^-(1-vt)E(t)=A,2^-1,2^vtE(t)
Logo
2,n(1,t)=2l(A,2^-12^vtE(t)r) =A,2^vtE(t)=n(0,t)

Resposta

Mostramos que a função dada satisfaz tanto a PDE quanto a condição de mitose, logo ela é solução do modelo proposto.

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