Exercício 5. Bischoff et al. (1971) sugeriram um modelo simplificado para o tratamento por quimioterapia de um tipo específico de leucemia que utiliza arabinose-citosina. Eles supuseram que a taxa de maturação de células malignas é constante
e que a droga leva à morte celular a uma taxa constante
, a qual varia com a concentração da droga e com a idade da célula. As equações do seu modelo são:
onde
é o número de células, e
é a concentração da droga. A equação que descreve a mitose no seu modelo é
Mostre que
é uma solução para a equação.
Passo 1
O enunciado dá a equação em derivadas parciais
com condição de contorno da mitose
Queremos mostrar que
satisfaz tanto a PDE quanto a condição de mitose.
Passo 2
Calculemos
e
. Escreva
onde
e
Então, usando a regra da cadeia para a parte
:
Logo
Por outro lado,
portanto
Finalmente,
o que verifica a PDE.
Passo 3
Verifiquemos
.
Logo
Resposta
Mostramos que a função dada satisfaz tanto a PDE quanto a condição de mitose, logo ela é solução do modelo proposto.