Exercício 4. Considere um organismo que se move apenas sobre o eixo- e que se encontra inicialmente na origem , e que possui um certo viés de se deslocar mais para a direita do que para a esquerda. Seja a probabilidade de que o organismo esteja a uma distância
da origem após unidades de tempo. Seja Q a quantidade organismos liberados sobre a origem no tempo , de forma que a concentração de organismo é dada por . A equação para a concentração é
onde unidade de , e dado . Resolva a equação no caso em que e encontre .
Passo 1
O enunciado dá a equação de advecção– difusão unidimensional
com condições de contorno
e condição inicial
O objetivo é resolver essa PDE e depois obter
Para isso vamos usar separação de variáveis após transformar o operador de advecção– difusão em um operador auto– adjunto.
Passo 2
Definimos
Substituindo na PDE original e simplificando (fazendo as derivadas e cancelando fatores exponenciais) obtém– se que satisfaz
com as mesmas condições homogêneas
u(-1,t)=0, u(1,t)=0,
e condição inicial
u(x,0) = e^V2Dx,cos!l(tfracpi2xr)
Passo 3
Agora separamos variáveis propondo
u(x,t)=sumn=1^inftyAn,e^-lambdan t,varphin(x),
onde varphin e lambdan vêm do problema de autovalores