Exercício 4. Considere um organismo que se move apenas sobre o eixo- x e que se encontra inicialmente na origem x=0, e que possui um certo viés de se deslocar mais para a direita do que para a esquerda. Seja p(x, t) a probabilidade de que o organismo esteja a uma distância x
da origem após t unidades de tempo. Seja Q a quantidade organismos liberados sobre a origem no tempo t=0, de forma que a concentração de organismo é dada por c(x, t)=Q p(x, t). A equação para a concentração é
partial cpartial t+V partial Cpartial x=D partial^2 cpartial x^2
onde V>0 em unidade de cm / s, e D>0 dado em cm^2 / s. Resolva a equação no caso em que c(-1, t)=c(1, t)=0, e c(x, 0)=cos (x pi2) e encontre p(x, t).

Passo 1

O enunciado dá a equação de advecção– difusão unidimensional
partial cpartial t + V,partial cpartial x = D,partial^2 cpartial x^2 xin[-1,1],;t>0
com condições de contorno
c(-1,t)=0, c(1,t)=0
e condição inicial
c(x,0)=cos!l(tfracpi2xr)
O objetivo é resolver essa PDE e depois obter
p(x,t)=c(x,t)Q
Para isso vamos usar separação de variáveis após transformar o operador de advecção– difusão em um operador auto– adjunto.

Passo 2

Definimos
u(x,t);=;e^,V2Dx;c(x,t)
Substituindo na PDE original e simplificando (fazendo as derivadas e cancelando fatores exponenciais) obtém– se que u satisfaz
partial upartial t = D,partial^2 upartial x^2 - underbraceV^24Dalpha,u,
com as mesmas condições homogêneas
u(-1,t)=0, u(1,t)=0,
e condição inicial
u(x,0) = e^V2Dx,cos!l(tfracpi2xr)

Passo 3

Agora separamos variáveis propondo
u(x,t)=sumn=1^inftyAn,e^-lambdan t,varphin(x),
onde varphin e lambdan vêm do problema de autovalores
D,varphi''(x)+lambda,varphi(x)=0, varphi(-1)=varphi(1)=0
Os autovalores e autovetores são
kn=npi2, lambdan = D,kn^2 + V^24D, varphin(x)=sin!l(kn(x+1)r) (n=1,2,dots)

Passo 4

Expandimos a condição inicial de u na base varphin com o peso trivial (já que o problema está agora auto– adjunto):
u(x,0) = sumn=1^infty An,varphin(x),
com
An = integral-1^1u(x,0),varphin(x),dx integral-1^1varphin^2(x),dx = integral-1^1e^V2Dxcos!l(tfracpi2xr), sin!l(tfracnpi2(x+1)r),dx integral-1^1sin^2!l(tfracnpi2(x+1)r),dx
Assim a solução de u é
u(x,t) =sumn=1^infty An, exp!l[-l(D(tfracnpi2)^2+tfracV^24Dr)tr], sin!l(tfracnpi2(x+1)r)
Voltando a c, obtemos
c(x,t) =e^-V2Dx,u(x,t) =sumn=1^infty An, exp!l[-l(Dl(tfracnpi2r)^2+tfracV^24Dr)t-tfracV2Dxr], sin!l(tfracnpi2(x+1)r)

Resposta

Finalmente, como , temos a densidade de probabilidade
onde
e as taxas de decaimento são .

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