Resolva o sistema A X=B usando o método de Gauss-Seidel, a partir do vetor nulo e com precisão de varepsilon=0,01 no erro relativo. Verificando a convergência e o condicionamento das matrizes:
A=[ccc5 & -1 & -1 1 & 4 & 0 -2 & -3 & 10], B=[c5 0 10]

Passo 1

Beleza, o enunciado pede para resolver o sistema
A X = B, A = 5 & -1 & -1 1 & 4 & 0 -2 & -3 & 10 , B = 5010
usando Gauss-Seidel, partindo de X^(0)=(0,0,0) e parando quando o erro relativo for varepsilon=0,01. Além disso, precisamos:
  1. Verificar se o método converge (vamos usar a noção de dominância diagonal).
  2. Calcular o condicionamento de A (número de condição condinfty(A)=|A|infty|A^-1|infty).

Passo 2

Convergência por dominância diagonal: em cada linha de A o módulo do pivô deve superar a soma dos outros módulos:
  • Linha 1: |5| > |-1|+|-1| = 2\quad ✓
  • Linha 2: |4| > |1|+|0| = 1\quad ✓
  • Linha 3: |10| > |-2|+|-3| = 5\quad ✓
    Como A é estritamente diagonalmente dominante, Gauss-Seidel converge.

Passo 3

Isolando cada xi e usando as últimas atualizações (Gauss-Seidel):
x1^(k+1) = dfrac15l(5 + x2^(k) + x3^(k)r),[6pt] x2^(k+1) = dfrac14l(0 - 1cdot x1^(k+1)r) = -tfracx1^(k+1)4,[6pt] x3^(k+1) = dfrac110l(10 + 2,x1^(k+1) + 3,x2^(k+1)r)
O erro relativo usa a norma-infinito:
|X^(k+1)-X^(k)|infty|X^(k+1)|infty < 0,01
]

Passo 4

Iterando a partir de X^(0)=(0,0,0):
k=0→1:
x1^(1)=5+0+05=1, x2^(1)=-tfrac14=-0,25, x3^(1)=10+2cdot1+3(-0,25)10=1,125
X^(1)=(1,,-0,25,,1,125). Erro ≈1 >0,01 → continua.
k=1→2:
x1^(2)=5-0,25+1,1255=1,175, x2^(2)=-tfrac1,1754=-0,29375, x3^(2)=10+2(1,175)+3(-0,29375)10=1,146875
X^(2)=(1,175,,-0,29375,,1,146875). Erro≈0,1489 >0,01 → continua.
k=2→3:
x1^(3)=5-0,29375+1,1468755=1,170625,; x2^(3)=-tfrac1,1706254=-0,29265625,; x3^(3)=10+2(1,170625)+3(-0,29265625)10=1,146328125
X^(3)=(1,170625,,-0,29265625,,1,146328125). Erro≈0,00374 <0,01 → para!

Passo 5

Número de condição (norma ∞):
|A|infty=max7,5,15=15
Calculando A^-1 por cofatores e determinante ( det A=205) obtém-se
A^-1=1205 40 & 13 & 4 -10 & 48 & -1 5 & 17 & 21 , |A^-1|inftyapprox0,2878
Logo
condinfty(A)=15times0,2878approx4,32,
ou seja, A está bem condicionado.

Resposta

A solução aproximada é
Xapprox 1,171 -0,293 1,146 ,
o método converge (dominância diagonal) e condinfty(A)approx4,32.

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